Кафедра геометрии

Кафедра геометрии Казанского государедвенного университета организована в 1934 г. после разделения кафедры математики на несколько специальных кафедр. Ее первым заведуощим был выдающийся геометр Петр Алексевых Широков (1895-1944), воспитанник Казанского университета. С его именем связано становление Казанской геометрической школы. Еще раньше, с 1926 г. под ето руководством начал работать геометрический семинар, в котором принимали участие преподаватели математических кафедр, аспиранты и студенты старших курсов. В 1934 г. появилась широко известная книга П. А. Широкова "Тензорное исчисление" (в 1961 г. вышло ее второе издание). С образованием кафедры геометрии учебная и научно-исследовательская работа в области геометрии на факультете значительно активизировались. Читая курсы по неевклидовой геометрии, тензорному анализу, геометрии римановых пространств и т.д, их приложениями к механике, Петр Алексеевич умело привлекал студентов к исследовательской работе. Им был воспитан целый ряд ученых-геометров: Б. Л. Лаптев, И. П. Егоров, А. З. Петров, П. И. Петров, Г. С. Бархин, Г. Е. Изотов, В. Г. Копп, А. П. Заборская, из которых первые четверо в дальнейшем стали докторами наук. Отметим также, что в самые тяжелые годы войны (1941-1944) он был деканом физико-математического факультета.

Если говорить о научных интересах П. А. Широкова, которые во многом определили направление дальнейших исследований на кафедре, то его интересовали, прежде всего, римановы пространства, которые по своим свойствам наиболее близки к пространствам постоянной кривизны, в частности, к пространству Лобачевского. Так, начатые им исследования по теории симметрических пространств, тензор кривизны которых ковариантно постоянен, получили затем широкое развитие в работах Э. Картана и составляют сегодня одну из замечательных глав современной геометрии. Он также положил начало изучению А-пространств (они известны теперь также как келеровы пространства) – одному из самых интересных классов почти эрмитовых пространств. Таким образом, П. А. Широков положил начало тому научному направлению по изучению пространств с различными структурами, которое, обогащаясь со временем новыми идеями и результатами, стало основным на кафедре геометрии.

Особое место в деятельности П. А. Широкова и возглавляемой им кафедры стало исследование научного наследия Н. И. Лобачевского и популяризация идей неевклидовой геометрии. В 1937 г. состоялось восьмое (и последнее в Казанском университете) присуждение премии имени Лобачевского. В 1943 г. была проведена юбилейная математическая конференция, посвященная 150-летию со дня рождения великого геометра. П. А. Широков подготовил большую слатью «Краткий очерк основ геометрии Лобачевского» (в книге «Николай Иванович Лобачевский», 1943), которая неоднократно в дальнейшем переиздавалась (в том числе, на других языках) отдельной брошюрой. К этой конференции Б. Л. Лаптевым была написана научная биография Лобачевского. Было начато осуществление грандиозного проекта – издание полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского. К сожалению, из-за начавшейся войны первый том вышел только в 1946 г., уже после преждевременной смерти П. А. Широкова.

В течение года, с 1944 по 1945 год, кафедрой временно заведовал Борис Лукич Лаптев (1905-1989), начинавший тогда работать над докторской диссертацией. В 1945 г. по его предложению возглавить кафедру был приглашен профессор Александр Петрович Норден (1904-1993), ученик В. Ф. Кагана и С. П. Финикова (Московский университет), работавший тогда заведующим кафедрой математики Новосибирского института военных инженеров транспорта. Это был уже сформировавшийся и широко известный ученый, создатель метода нормализации поверхностей проективных пространств.

В Казани А. П. Норден продолжал развивать свой метод нормализации, распространив его на многомерные пространства, применяя к геометриям подгрупп проективной группы, к линейчатой и конформной геометриям, к теории сетей. В то же время, направление исследований, заложенное П. А. Широковым, оказалось близким научным интересам А. П. Нордена. Его внимание привлекли вопросы, связанные с использованием гиперкомплексных чисел в геометрии. Так возникла теория биаффинных и биаксиальных пространств, указаны приложения этой теории к изучению линейчатой геометрии, битензоров пространства Лоренца, специальных типов римановых пространств и пространств аффинной связности. К изучению всех этих вопросов А. П. Норден привлек многих молодых научных работников и своих аспирантов. Этому способствовали высокий научный уровень и педагогическое мастерство, с которым он читал как общие, так и специальные курсы: теорию поверхностей, теорию проективных пространств и метод нормализации, линейчатую и конформную геометрию, пространства аффинной связности и др. В эти и последующие годы А. П. Норденом были воспитаны будущие доктора наук В. И. Ведерников, Р. Г. Бухараев, А. П. Широков, В. И. Шуликовский, В. В. Вишневский и около 30 кандидатов наук.

В этот период А. П. Норден написал ряд широко известных у нас и за рубежом учебников и монографий: «Дифференциальная геометрия» (1948), «Пространства аффинной связности» (1950) (в 1976 г. вышло 2-е переработанное издание), «Элементарное введение в геометрию Лобачевского» (1953), «Теория поверхностей» (1956), «Краткий курс дифференциальной геометрии» (1958). В 1954 г. ему было присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки ТАССР». Звание заслуженного деятеля науки РСФСР он получил в 1964 г. в связи с 60-летием. Он был награжден орденами «Трудового Красного Знамени» и «Знак Почета».

В 1946-1951 годах были подготовлены к печати и изданы пять томов «Полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского» с многочисленными вводными статьями, примечаниями и комментариями. В этой важной и кропотливой работе от кафедры геометрии приняли активное участие А. П. Норден и Б. Л. Лаптев. В 1951 г. состоялась геометрическая конференция, посвященая 125-летию неевхлидовой геометрии. В 1954 г. научная конференция была организована в связи со 150-летием Казанского университета.

Большое значение в жизни кафедры имела деятельность Бориса Лукича Лаптева. Воспитанник физико-математического факультета Казанского университета, он работал на кафедре со дня ее основания и с 1935 г. стал заниматься под руководством П. А. Широкова геометрией финслеровых пространств. Эти пространства, обобщающие по своим метрическим свойствам римановы, возникли в результате геометризации вариационного исчисления. Человек широкого кругозора и высокой культуры, Б. Л. Лаптев в 1951-1958 годах был деканом физико-математического факультета. В 1959 г. в МГУ он защитил докторскую диссертацию, создав общую теорию пространств опорных элементов. Глубоко разработав аппарат дифференцирования Ли в этих пространствах, он применил его к решению вариационных задач, к нахождению групп автомор-физмов дифференциально-геометрических структур.

Другой ученик П. А. Широкова – Алексей Зиновьевич Петров (1910-1972), участник Великой Отечественной войны, начал работать на кафедре геометрии с 1945 г. Он читал спецкурсы по тензорному анализу, римановой геометрии, теории групп преобразований и их приложениям к общей теории отностельности. Это отражало его научные интересы – приложения геометрических методов в теоретической физике, в теории физических полей. С 1946 г. он начал изучение пространств Эйнштейна и в 1957 г. защитил докторскую диссертацию, посвященную применению инвариантно-групповых методов в теории тяготения. А. З. Петров дал в своей диссертации классификацию 4-мерных пространств Эйнштейна лоренцевой сигнатуры, а также установил классификацию полей тяготения общего вида в соответствии с алгебраической структурой тензора кривизны пространства-времени. Эти результаты принесли ему мировую известность. В 1960 г. Алексей Зиновьевич возглавил организованную им кафедру теории относительности и гравитации на физическом факультете КГУ, создал свою научную школу. Свои результаты А. З. Петров изложил в ряде статей, а также в монографиях «Пространства Эйнштейна» (1961) и «Новые методы в общей теории относительности» (1966). В последнюю он включил также и результаты своих учеников. В 1969 г. А. З. Петров стал действительным членом АН УССР и уехал в Киев на работу в Институте теоретической физики АН Украины. В 1972 г. ему была присуждена Ленинская премия.

Такова вкратце предыстория кафедры геометрии до разделения в 1960 г. физико-математического факультета на механико-математический и физический. Эта процедура особенно чувствительно сказалось на нашей кафедре. Как уже было отмечено, А. З. Петров перешел на физический факультет, организовав там новую кафедру – теории относительности и гравитации. Естественно, вместе с ним на эту кафедру перешли и его аспиранты – несколько талантливых молодых людей (В. Р. Кайгородов, В. И. Голиков, А. М. Анчиков). Несколько лет на кафедре теории относительности и гравитации проработал В. И. Шуликовский. В довершение к этому в 1961 г. Б. Л. Лаптев был назначен директором НИИММ имени Н.Г. Чеботарева, проработав в этой должности 20 лет (1961–1980 гг.). Правда, он оставил за собой чтение некоторых курсов, а также руководство аспирантами. Таким образом, положение на кафедре создалось достаточно сложное. Тем не менее, педагогический и научный потенциал кафедры был настолько высок, что все эти обстоятельства не привели к сколько-нибудь заметному падению уровня преподавания. После окончания аспирантуры начал свою педагогическую деятельность на кафедре ученик А. П. Нордена В. В. Вишневский, Б. Н. Шапукову пришлось переводится из очной аспирантуры в заочную и начинать работу на кафедре в должности ассистента.

В то время читались такие общие курсы, как «Аналитическая геометрия» (трехсеместровый курс), «Дифференциальная геометрия» (двухсеместровый курс), «Основания геометрии», а также «Черчение» с соответствующими практическими занятиями. Правда, этот предмет был вскоре отменен. Из министерства пришло предписание читать курс «Введение в специальность» вместо традиционного курса «История математики». Никакой программы за предписанием не последовало, что поставило многие вузы в тупик. Наш факультет выручил Б. Л. Лаптев, который с блеском читал этот курс несколько лет до тех пор, пока его не отменили. Из специальных курсов (они, конечно, год от года менялись) следует упомянуть следующие: «Проективная геометрия» (на основе проективной геометрии читалась и геометрия неевклидовых пространств), «Тензорный анализ и риманова геометрия», «Пространства аффинной связности» (включая метод нормализации Нордена), «Линейчатая геометрия», «Производная Ли» и некоторые другие. В общем, набор специальных курсов был не особенно велик. Со временем, число часов, отводимых под спецкурсы, увеличивалось, и приведенный выше их список расширялся, но об этом – чуть позже.

Значительными событиями в жизни кафедры 60-х годов были состоявшиеся защиты докторских диссертаций двух талантливых учеников А. П. Нордена – в 1964 г. Валентина Ивановича Шуликовского (1922–1973), которому докторская степень была присуждена по совокупности работ, и затем в 1966 г. – Александра Петровича Широкова (1926–1998), сына П. А. Широкова. В 1965–67 годах В. И. Шуликовский работал в Болгарии, читал геометрические курсы в вузах Софии и Пловдива. Там он написал и издал учебник по дифференциальной геометрии на болгарском языке, воспитал несколько учеников. В 1967–73 годах Валентин Иванович был деканом физического, а затем механико-математического факультетов. В 1969 г. В. И. Шуликовский стал профессором кафедры геометрии. Он начал читать спецкурсы по проективной дифференциальной геометрии, по теории сетей, по теории поверхностей и конгруэнций. Область его научных интересов – теория сетей. Он является автором известных монографий «Классическая дифференциальная геометрия» (1963) и «Проективная теория сетей» (1964). Под его руководством защищено пять кандидатских диссертаций.

В докторской диссертации А. П. Широкова «Пространства, определяемые алгебрами» было проведено исследование дифференцируемых многообразий со структурами, определяемыми алгебрами весьма общего вида – ассоциативными и унитальными (т. е. имеющими единицу). Эта структура определяется представлением указанной алгебры в модуле аффинорных полей данного многообразия. В итоге возникает весьма широкое обобщение комплексных многообразий, для которых указанная алгебра сводится к полю комплексных чисел. Таким образом, в итоге многолетних исследований, начатых П. А. Широковым, на кафедре окончательно сформировалось научное направление, ставшее основным в ее научной работе. В работах А. П. Широкова и его учеников (им подготовлено более 20 кандидатов наук) развивались различные аспекты теории пространств над алгебрами, их многочисленных приложений к линейчатой геометрии, геометрии неевклидовых пространств, к теории касательных расслоений как первого, так и высших порядков. Часть этих результатов отражена в монографии «Пространства над алгебрами», написанной им совместно с В. В. Вишневским и В. В. Шурыгиным (1985). Научная работа А. П. Широкова была тесно связана с его преподавательской деятельностью. Человек широкого научного кругозора, он впервые на кафедре прочитал ряд новых спецкурсов: «Симплектическая геометрия», «Расслоенные пространства», «Пространства над алгебрами», «Неевклидовы пространства» и др., знакомя студентов и аспирантов с новейшими научными результатами. Он активно занимался также и научно-методической работой, опубликовал несколько учебных пособий по геометрии. Следует отметить, что с 1970 по 1975 год, после отъезда А. З. Петрова, А. П. Широков работал заведующим кафедрой теории относительности и гравитации, после чего снова возвратился на кафедру геометрии. В 1979 г. ему было присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки РСФСР».

1967 год был заметным в жизни кафедры проведением 3-й межвузовской научной конференцией по проблемам геометрии, посвященной 50-летию Советского государства. По существу, она была международной, поскольку для участия в ней прибыли делегации из стран Народной демократии. Особенно представительной была делегация из Болгарии во главе с академиком Г. Матеевым. С этой страной у нашей кафедры сложились особенно благотворные связи: там, как уже говорилось, работал Валентин Иванович Шуликовский, а позже В. В. Вишневский. На нашей кафедре учились в аспирантуре и защитили кандидатские диссертации по геометрии несколько молодых болгарских преподавателей.

В 70-е годы активную научную деятельность продолжал А. П. Норден (по его словам, он переживал пору третьей своей молодости). Используя аппарат теории расслоенных пространств, он построил теорию композиций и показал, как различные геометрические направления могут быть включены в рамки этой теории. Идеи теории векторных расслоений в значительной степени были им использованы и при подготовке нового, переработанного издания монографии «Пространства аффинной связности» (1976). Отметим также, что в этот период он совместно со своей первой ученицей Г. В. Бушмановой написал два интересных учебных пособия: «Введение в конформную геометрию» (1969) и «Элементы конформной геометрии» (1972).

В 1972 г. защитил докторскую диссертацию Владимир Владимирович Вишневский (1929-2007) – ученик А. П. Нордена. В этой диссертации он провел исследование пространств с аффинорными структурами общего вида в тесной связи с алгеброй плюральных чисел. Он показал, что со всякой аффинорной структурой ассоциируется некоторая коммутативная алгебра, а дифференцируемое многообразие с интегрируемой аффинорной структурой является композицией многообразий трех простейших аффинорных типов. В последующие годы он занимался изучением полукасательных расслоений, которые, как оказалось, моделируют многообразия с аффинорной структурой общего вида. В. В. Вишневский работал на кафедре геометрии с 1960  по 1984 год, с 1975 г. – в должности профессора. Тринадцать его учеников защитили кандидатские диссертации. Находясь в Болгарии, в Пловдивском педагогическом институте, он читал ряд спецкурсов, подготовил несколько учеников – кандидатов наук. В 1974 г., после внезапной кончины В. И. Шуликовского, В. В. Вишневский был назначен деканом механико-математического факультета и работал на этой должности до 1993 г. В 1984–1994 годах он был заведующим кафедрой общей математики, а с 1994 г. – профессором этой кафедры. Научно-педагогическая и общественная деятельность В. В. Вишневского отмечена присвоением ему почетных званий «Заслуженный деятель науки ТАССР» (1979) и «Заслуженный работник Высшей школы» (1997), он был награжден орденом «Знак Почета» и медалью «Ветеран труда».

В 1976 г. в Казани прошла Всесоюзная научная конференция по неевклидовой геометрии, организованная в честь 150-летия открытия Лобачевским неевклидовой геометрии. В ее подготовку и организацию много сил и энергии вложил, прежде всего, Б. Л. Лаптев. Это была представительная конференция, на которой работало пять секций с множеством подсекций и присутствовало более 400 человек. Она также была фактически международной – приехали около 20 видных зарубежных ученых, в том числе, из дальнего зарубежья.

В 70-х годах кафедра пополнилась новыми сотрудниками, своими воспитанниками разных лет. В 1974 г. из пединститута перешел Алексей Семенович Подковырин (род. в 1934 г.), ученик А. П. Нордена. С 1978 г. он работает в должности доцента. Тема его научных работ – поверхности биаффинных и унитарных пространств. Учитывая комплексную структуру этих пространств, он также существенно использует в своих исследованиях метод нормализации А. П. Нордена. А. С. Подковырин дважды выезжал на продолжительное время за границу для преподавательской работы – в Алжир и в Буркина Фасо. В настоящее время чтение лекций на мехмате КГУ он совмещает с работой в Зеленодольском филиале университета.

Ученик А. П. Широкова Виктор Егорович Фомин (род. в 1947 г.), окончив в 1971 г. механико-математический факультет КГУ, в этом же году стал работать ассистентом на кафедре. В 1981 г. он защитил кандидатскую диссертацию «О дифференциальной геометрии банаховых многообразий», в которой им были построены основы дифференциальной геометрии гладких многообразий банахова типа. Таким образом, на кафедре возникла новая тематика исследований, в которой существенную роль играет топология. С 1985 г. Виктор Егорович работает в должности доцента. Вместе с аспирантами им изучались многообразия типа Фреше поточечно-конформных структур на гладких компактных многообразиях, многообразия компактных подмногообразий конечномерных гладких многообразий, многообразия над банаховыми алгебрами, различные аспекты дифференциальной геометрии гильбертова пространства.  Под его руководством защищено четыре кандидатские диссертации. 

По инициативе Виктора Егоровича и под его фактическим руководством кафедрой геометрии в 1980-х годах выполнялись хоздоговорные работы  по теме «Теоретические обоснования возможности изготовления оболочек методом намотки и последующей деформации».

В последнее время исследования В. Е. Фомина посвящены различным вопросам дифференциальной геометрии кривых, голономных и неголономных  гиперповерхностей в гильбертовом пространстве: строению гиперповерхностей постоянной гауссовой кривизны, определяемости кривой последовательностью кривизн, нахождению главных направлений гиперповерхности в данной точке. Им доказано, что гиперповерхность постоянной гауссовой кривизны в гильбертовом пространстве необходимо является гиперсферой или частью гиперсферы, по заданному направлению в гильбертовом пространстве найдены все точки гиперквадрики, для которых это направление является главным, доказан аналог теоремы Клеро для неголономной гиперповерхности вращения в гильбертовом пространстве.

Еще один воспитанник кафедры – Вадим Васильевич Шурыгин (род. в 1952 г.), ученик А. П. Нордена. Работая на кафедре геометрии с 1975 г., он в 1978 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему «К теории пространств над алгебрами и их подпространств». В 1998 г. он защитил докторскую диссертацию. К его научным результатам мы вернемся позже.

В 1980 г. приказом ректора заведующим кафедрой геометрии был назначен А. П. Широков. Его научные интересы того времени были сосредоточены на геометрии касательных расслоений высшего порядка и изучении их алгебраической структуры. Им была обнаружена тесная связь этих расслоений с алгебрами плюральных чисел, которая реализуется на многообразии касательных элементов как на расслоении струй соответствующего порядка. Эти результаты оказали значительное влияние на тематику научных исследований всей кафедры. Само собой разумеется, что выдвинутые Александром Петровичем идеи в различных ее частных случаях стали предметом исследования многих его аспирантов.

В этом же 1980 г. на кафедру на должность профессора-консультанта возвратился Б. Л. Лаптев. Как уже говорилось, значительную часть своих исследований Б. Л. Лаптев посвятил изучению жизни и творческого наследия Н. И. Лобачевского, истории математики в Казанском университете. Автор многих статей на эту тему, он к 150-летию открытия неевклидовой геометрии написал также книгу «Николай Иванович Лобачевский» (1976), учебное пособие «Н. И. Лобачевский и его геометрия» (1976). Совместно с П. С. Александровым он был ответственным редактором фундаментального издания «Н. И. Лобачевский. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма» (1976), завершившего многолетний труд по изданию полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского. За свою активную научно-педагогическую и общественную деятельность Б. Л. Лаптев был удостоен почетных званий «Заслуженный деятель науки ТАССР» (1965) и «Заслуженный деятель науки РСФСР» (1975), а его научные достижения в области геометрии обобщенных пространств были в 1984 г. отмечены Академией Наук СССР медалью имени П. Л. Чебышева. Б. Л. Лаптев воспитал 10 учеников – кандидатов наук. В 1992 году в память об этом замечательном человеке и ученом был издан сборник «Профессор Борис Лукич Лаптев (глазами учеников и друзей)».

При А. П. Широкове на кафедре установилась свободная, доброжелательная атмосфера. Вскоре на кафедре появляется новый талантливый преподаватель, ученик А. П. Нордена – Михаил Арменович Малахальцев (1961 г. рожд.). В 1987 году он защитил кандидатскую диссертацию «О проектировании инвариантных линейных связностей на главных расслоениях». В ней Михаил Арменович исследовал операцию проектирования связности в главных расслоениях и получил результаты, позволяющие описать некоторые обобщения геодезических линий. Он изучил также вопрос о свободном действии группы изометрий на римановом многообразии знакоопределенной кривизны. 

Александр Петрович Широков не боялся предоставить свободу действий молодым преподавателям, заботился о том, чтобы они реализовали свои замыслы и способности. На кафедре начинает читаться ряд новых спецкурсов «Дифференцируемые многообразия», «Расслоенные пространства», «Теория катастроф», «Банаховы многообразия» и др., отражающие последние достижения в области дифференциальной геометрии.

В 1992 г., благодаря энергии и инициативе В. В. Вишневского, в Казанском университете была организована Всесоюзная научная конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского. В работе конференции приняли участие также около двадцати зарубежных гостей. К этому юбилею Постановлением Кабинета Министров СССР от 18 июня 1991 г. была учреждена медаль имени Н. И. Лобачевского «За выдающиеся работы в области геометрии». В Положении предусмотрено, что один раз в пять лет эта медаль присуждается российским и зарубежным ученым. Первым лауреатом медали по единодушному решению жюри стал А. П. Норден.

С 1992 года М. А. Малахальцев работает на кафедре в должности доцента. С 1996 года он является руководителем отдела геометрии НИИММ имени Н.Г.Чеботарева. Под его руководством  защитили диссертации трое сотрудников отдела, всего у него четверо учеников, защитивших кандидатские диссертации.

Научные интересы М. А. Малахальцева лежат в области дифференциальной топологии, и он вносит новые, оригинальные идеи в традиционную проблематику. В частности, Михаил Арменович построил аналог когомологий Дольбо для многообразий над алгеброй дуальных чисел и применил их для описания пространства деформаций структур многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе. Изучая многообразия над алгеброй, М. А. Малахальцев пришел к понятию (X,G)-слоения. Им были разработаны методы изучения (X,G)-слоений, в частности, определены  характеристические классы (X,G)-слоений и указаны способы их вычисления. С помощью комплекса Спенсера производной Ли им были построены тонкие резольвенты пучков инфинитезимальных симметрий ряда G-структур. Для многообразий, наделенных симплектической структурой с особенностями Мартине, им были построены тонкие резольвенты для пучков инфинитезимальных симметрий 1- и  2-форм непостоянного ранга.

В последние годы М. А. Малахальцев плодотворно сотрудничает с профессором Хосе Рикардо Артеага из университета «Los Andes» (г. Богота, Колумбия). С августа по декабрь 2008 года он занимал должность приглашенного профессора университета «Los Andes». Совместно с профессором Хосе Рикардо Артеага М. А. Малахальцевым были изучены потоки Риччи на поверхностях трехмерного евклидова пространства, построен лифт Вагнера метрики двумерного риманова многообразия в расслоение ортореперов, построены инварианты субриманова многообразия (M,D) размерности (3,2) вдоль поверхности неконтактности распределения D.

Следует также отметить, что наряду с исследованиями в области геометрии М.А. Малахальцев занимается разработкой информационных технологий поддержки физико-математических электронных научных изданий. Им было разработано программное обеспечение, обеспечивающее работу электронного журнала «Lobachevskii Journal of Mathematics», обязанности секретаря которого он исполнял с 1996 по 2009 годы. Совместно с А.М. Елизаровым и Е.К. Липачевым в 2010 году им была опубликована в издательстве «Физматлит» книга «Веб-технологии для математика: Основы MathML. Практическое руководство». Он также разработал и прочитал студентам мехмата КГУ курс по выбору «Информационные технологии для математика».

В настоящее время (2010 год) М.А. Малахальцев работает в университете «Los Andes» (г. Богота, Колумбия) в должности приглашенного профессора. 

В 1993 г. кафедру по рекомендации А. П. Широкова возглавил Шапуков Борис Никитович (1937-2007), ученик Б. Л. Лаптева. Незадолго до этого, в 1991 году Б. Н. Шапуков защитил докторскую диссертацию на тему «Структуры на расслоенных многообразиях и вопросы редукции» и в 1992 г. стал профессором кафедры. Область научных интересов Б. Н. Шапукова – дифференциальная геометрия расслоенных многообразий и их приложения. В своих работах он развил общую теорию линейных связностей и дифференцирования Ли на тотальных пространствах гладких расслоений, исследовал некоторые структуры, естественным образом возникающие на расслоенных многообразиях. В частности, Б. Н. Шапуков выяснил роль симметрической группы в геометрии тензорных расслоений и показал, что всякое тензорное расслоение обладает естественной почти алгебраической структурой, а также более тонкой тензорной структурой. На этом пути он получил широкое обобщение результатов Б. Л. Лаптева. Б. Н. Шапуков подготовил семь учеников – кандидатов наук, является автором нескольких учебных пособий. Написанная им книга «Задачи по группам Ли и их приложениям» была переведена на испанский язык. Многочисленные заслуги Бориса Никитовича в развитии науки и образования были отмечены присуждением ему звания «Заслуженный деятель науки и техники  Республики Татарстан» (в 1995 г.), медали и звания «Ветеран труда» (в 1998 г.), звания «Заслуженный работник образования» (в 2004 г.).

В 1995 г. кафедрой геометрии совместно с кафедрой теории отностельности и гравитации Казанского университета был организован международный геометрический семинар, посвященный 100-летию со дня рождения П. А. Широкова. Издан сборник «Петр Алексеевич Широков (человек и ученый)» (Казань, 1995), в котором кроме воспоминаний об этом замечательном человеке имеется и анализ его научного творчества. В феврале 1997 г. был проведен международный семинар на тему «Современная геометрия и теория физических полей». Следует отметить, что в проведении этих семинаров финансовую поддержку оказали Миннауки Российской Федерации и Российский фонд фундаментальных исследований.

В 1996 г. Казанская геометрическая школа, возглавляемая А. П. Широковым, получила грант Государственной программы по поддержке ведущих научных школ России для выполнения научных исследований по теме «Геометрия и топология многообразий с алгебраическими структурами и расслоения».

1 декабря 1997 г. Казанский университет в очередной раз проводил награждения медалями имени Н. И. Лобачевского. На конкурс подали заявки 10 претендентов (6 по номинации «Российские ученые» и 4 по номинации «Зарубежные ученые»). Международное жюри (председатель – проф. Б. Н. Шапуков), представило Ученому Совету университета свое заключение, на основании которого лауреатами этой медали стали М. Громов (Франция) и Б. П. Комраков (Россия). Работы ряда ученых были отмечены почетными отзывами.

Б. Н. Шапуков, В. В. Шурыгин

2011