После окончания школы Завойский решил продолжить образование в Казанском университете. Перед поступлением занимался с учителем математики Алексеем Алексеевичем Мантуровым.
"В Адмиралтейской слободе жил учитель математики Мантуров, высокий, худой, с виду строгий. Он готовил школьников для поступления в университет, очень придирчиво отбирал себе в группу желающих.
- Сколько будет 17 умножить на 34? - спросил он Женю. По-видимому, скорость, с которой был дан ответ, ему понравилось, и Женя был принят. Мантуров заставлял своих учеников работать очень много, помощь его оказалась весьма полезной".
По результатам конкурсных испытаний по математике, физике, обществоведению и литературе, Евгения Завойского зачислили на математическое отделение физико-математического факультета Казанского государственного университета. Стеснительный, немногословный, Евгений Завойский с первого курса активно включился в научную жизнь университета. Все свободное время он заполнял работой в лаборатории, штудированием лекций и учебной литературы. Кроме основных занятий, предусмотренных учебной программой, Завойский продолжает заниматься радиолюбительством. На первом курсе он начинает посещать физико-математический кружок.
Если исходить из сохранившихся записных книжек и тетради тех лет под названием "Радиоуголок", то можно сделать вывод, что для своего времени он прошел полный курс радиолюбителя. В черновиках есть схемы детекторных и одно- и двухламповых приемников, регенеративных радиоприемников, усилителя низкой частоты к детекторному приемнику, источника питания от сети, кристадина. Приведены расчеты катушки индуктивности, емкости конденсаторов, антенны, советы, как самому сделать трансформатор, сопротивление и даже анодную лампочку (радиолампу).
Собрав приемник, Женя Завойский принимал на него радиостанции Москвы, Ленинграда и других городов, оценивал качество приема, а также проводил эксперименты с приемниками, меняя режим их работы.
К концу первого курса, после сдачи экзаменационной сессии, он уже полностью освоился с университетскими порядками.
В сентябре 1927г второкурсник Е.Завойский ходатайствует о выдаче патента на изобретение "Устройство для управления механизмами на расстоянии". Кроме этого, согласно архивным материалам, Евгений Константинович занимался и другими разработками: секретного телеграфа и автоматического ключа к нему; аппарата для передачи и приема цветных неподвижных изображений по радио и проводам; проводил опыты с селеном и ртутью для создания усилителя радиосигналов.
После второго курса он начинает самостоятельное исследование "Явления Косоногова". В мае 1929г в журнале "Вестник студенческого физико-математического кружка им.Н.И.Лобачевского при КГУ" была опубликована статья Е.Завойского "К вопросу о газоэлектрических аналогиях", в которой автор пишет:
"Явление Косоногова должно иметь большое распространение в природе, и особенно в том случае, если действительно существует "жидкодвижущая" сила, т.е. существует поток жидкости через твердый контакт. Многие процессы природы придется рассматривать под углом зрения этого интересного явления, а потому его необходимо изучить. Что-либо говорить о соотношении рассмотренного явления с основными положениями термодинамики еще рано; нужен точный опытный материал".
В июле этого же года Евгений Завойский проходил практику в Ленинградском физико-техническом рентгенологическом институте - одном из ведущих научных центров страны. Студенты, находящиеся на практике, упросили Я.И.Френкеля прочесть им курс только что появившейся волновой механики. Такое сильное желание практикантов познакомиться с квантовой механикой, к которой в то время даже многие искушенные ученые относились с недоверием и иронией, растрогало Якова Ильича: он читал свой импровизированный курс по два раза в неделю перед аудиторией, состоящей из четырех слушателей.
В мае 1930г Евгений Константинович окончил университет после 3 лет и 8 месяцев обучения, получив узкую (по тем временам) специальность физика.
Завойский подает заявление в аспирантуру. Рекомендацию ему дал директор Физического института КГУ профессор В.А.Ульянин:
"Я охотно поддерживаю его ходатайство, считая, что из него может выработаться полезный научный работник. На 3 и 4 курсах он, кроме общего практикума, проделал в Физическом институте ряд более специальных работ, как, например: определение емкостей, определение спектров газов и металлов, определение показателя преломления электромагнитных волн в жидких диэлектриках, определение отношения заряда к массе электрона, исследование по прохождению газов через поверхность прикосновения жидкостей, - вообще т.Завойский проявил интерес и склонность к экспериментальной физике".