Треугольники Первооткрывателя Неевклидова Мира

1-12 - это магическое сочетание цифр для многих людей, помнящих великого математика и ректора нашего университета Н.И. Лобачевского. Уже больше 20 лет в Казанском университете проходят олимпиады, посвящённые дню его рождения. В проведении олимпиады задействован большой коллектив математиков. Бессменным вдохновителем и организатором олимпиады является Валентина Алексеевна Сочнева. В этом году олимпиада проходила очно для студентов КФУ, а для всех остальных ВУЗов (МГУ, МФТИ, в частности) - заочно. Всего в олимпиаде приняло участие 26 команд. “Фишкой” олимпиад двух последних лет стала последняя 11-я задача, оба раза её придумал Дамир Абзалилов. Она очень необычна для студенческих олимпиад.
 
В прошлом году задача выглядела так:
“Николай начертил две равновеликие фигуры: правильный пятиугольник с прямыми углами при вершинах и правильный треугольник. Чему равны углы при вершинах треугольника?”

 Как должен реагировать человек, когда его спрашивают: “Чему равны углы при вершинах правильного треугольника?” Но тут важен контекст: речь идёт о треугольнике, площадь которого совпадает с площадью правильного пятиугольника с прямыми углами. Очевидно, что на обычной евклидовой плоскости такого пятиугольника быть не может. Некоторые участники в прошлом году догадались, что речь идёт о геометрии Лобачевского, имя главного персонажа было подсказкой. Но увы, дальше дело не пошло, геометрию Лобачевского не проходят в ВУЗе. Хотя всё, что нужно было знать – то, что дефект (нехватка суммы углов до “правильного” евклидова значения) для равновеликих многоугоугольников на плоскости Лобачевского один и тот же. То есть, если сумма углов пятиугольника равна всего лишь 450, а не 540, как должно было бы быть на евклидовой плоскости, то и с равновеликим треугольником будет та же история – сумма его углов будет на 90 градусов меньше правильного значения. Это позволяет легко найти правильный ответ. Сохранение дефекта  равновеликих многоугольников - это особенность не только геометрии Лобачевского, но и сферической геометрии, только дефект будет с обратным знаком. Вообще, очень многие формулы неевклидовой геометрии являются “зеркальным отражением” формул геометрии сферической, созданной Менелаем и развитой Риманом.

Памятуя об опыте прошлого года, в этом году было выставлена задача, не требующая дополнительных знаний. Вот она:

“Бернхард построил равносторонний треугольник и провел в нём медианы. Оказалось, что их длины совпали с длинами сторон треугольника. В каком соотношении точка пересечения медиан делит медиану в этом треугольнике?”

Надо сказать, что жюри долго выбирало имя главного персонажа. Была идея назвать его Йалокином – Николаем наоборот. В конце концов, остановились на имени создателя Римановой геометрии, обобщающей геометрию пространств постоянной кривизны. Впрочем, для решения задачи нужен частный случай этих пространств, хорошо знакомый любому человеку. Не будем лишать читателя удовольствия от включения собственного наглядного представления о треугольнике, фигурирующем в условии задачи. В качестве небольшой подсказки будет лишь только что полученная смс-ка от популяризатора математики Алексея Савватеева, прочитавшего эту задачу: “ДА!! 90-90-90 И БЕСК. ЧИСЛО ВЫСОТ ТОЙ ЖЕ ДЛИНЫ ...”