Темы курсовых и дипломных
Данный раздел находится в стадии разработки.
- Матричные и комбинаторные обобщения теоремы Вильсона, теоремы Эйлера и малой теоремы Ферма. Дипломная работа посвящена изучению комбинаторных и матричных аналогов теоремы Вильсона, теоремы Эйлера и малой теоремы Ферма. Проблематика нахождения матричных аналогов теоремы Эйлера и малой теоремы Ферма возникла в работах В.И. Арнольда. В частности, В.И. Арнольдом было установлено следующее замечательное сравнение: Tr(A^p)≡(Tr(A))^p mod p, где p - простое число и A - произвольная целочисленная матрица. Комбинаторные обобщения теоремы Вильсона, теоремы Эйлера и малой теоремы Ферма предполагается изучить с помощью теоремы Бернсайда о количестве орбит G - множества.
Аналоги теоремы Эйлера и теоремы Вильсона в кольцах целых алгебраических чисел. Дипломная работа посвящена изучению аналогов теоремы Вильсона, теоремы Эйлера и малой теоремы Ферма в некоторых кольцах алгебраических чисел. В процессе написания дипломной работы предполагается систематическое использование алгебраической теории чисел и математического пакета Maple.
Особые элементы в групповых кольца. Дипломная работа посвящена изучению различных свойств обратимых, нильпотентных и идемпотентных элементов в групповых кольцах. В процессе написания дипломной работы предполагается систематическое использование математического пакета GAP.
Групповые коды. Дипломная работа посвящена построениям различных групповых кодов на основе структурной теории групповых алгебр. В процессе написания дипломной работы предполагается систематическое использование математического пакета GAP.
Базисы Гребнера и их приложения. Курсовая работа посвящена обобщениям алгоритма деления для многочленов от одной переменной и нахождениям с помощью них стандартных базисов в идеалах колец многочленов от нескольких переменных и их некоммутативных аналогов. В качестве приложений предполагается рассмотреть задачи из комбинаторики, теории графов, коммутативной и некоммутативной алгебры, алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел, целочисленного программирования и т.д. В процессе работы над курсовой работы предполагается использования соответствующих систем компьютерной алгебры.
Теория инвариантов конечных групп, порожденных отражениями. Дипломная работа посвящена нахождению алгебр инвариантов подгрупп конечной группы, порожденной отражениями. Согласно теореме Шевалле - Шефарда - Тодда алгебра инвариантов конечной группы, порожденной отражениями, порождается однородными алгебраически независимыми многочленами. Алгебра инвариантов подгруппы конечной группы, порожденной отражениями, является целым расширением этой алгебры. Предполагается изучить связи между геометрическими свойствами подгрупп конечной группы, порожденной отражениями, и алгебраическими свойствами алгебр инвариантов этих подгрупп. В процессе написания дипломной работы предполагается систематическое использование математического пакета Maple.
С линейной алгеброй и теорией матриц студенты ИММ знакомятся на первом курсе. Они слушают также курс дискретной математики, в котором большое место занимает теория графов. В традиционных общих курсах этих наук теория матриц и теория графов не связываются друг с другом. Однако в последние десятилетия возникла новая область ?комбинаторная теория матриц, в которой обе теории плодотворно сотрудничают. По этой тематике опубликовано множество научных статей и несколько книг. С проникновением теории графов в теорию матриц возникло множество новых задач различной степени трудности. Многие из них подходят в качестве тем для исследовательских работ студентов.
- Полукольца и полумодули. Предлагается ряд задач различной степени сложности о полукольцах и полумодулях. Полукольца являются весьма широким обобщением колец. Простейшими примерами полуколец могут служить полукольца натуральных чисел и неотрицательных вещественных чисел, а также двухэлементная булева алгебра. Ввиду значительной общности рассматриваемых систем, многие задачи, изучаемые в стандартном курсе общей алгебры, в том числе задачи о системах линейных уравнений, матрицах, многочленах и т.п., применительно к полукольцам становятся содержательными и нетривиальными.
- Полугруппы знаковых матриц. Выпускная работа посвящена изучению полугрупп знаковых портретов вещественных матриц. Предлагается исследовать строение и свойства таких полугрупп, удовлетворяющих заданным дополнительным ограничениям.
Корешков Николай Александрович
- Решение диофантовых уравнений и некоторые вопросы алгебраической теории чисел. Курсовая работа посвящена изучению разрешимости уравнений, являющихся обобщением уравнений Пелля. Для этих вопросов будет использоваться техника непрерывных дробей и их связь с наилучшими приближениями действительных чисел. Второй круг вопросов связан с изучением разложений в кольце целых алгебраических чисел с использованием условий дедекиндовости рассматриваемых областей.
- Применение теории базисов Грёбнера к некоторым классическим задачам алгебры. В первую очередь интерес представляет вопрос о вычислении инвариантов конечных групп и нахождении соотношений между этими инвариантами. Предполагается рассмотреть указанные вопросы для некоторых конкретных групп.
- Изучение структуры лиевых пучков и n-кратных ассоциативных алгебр. Работа посвящена изучению вопросов нильпотентности и разрешимости этих алгебр, связи полупростых и простых алгебр, а также некоторым задачам связанным с классификацией простых лиевых пучков и n-кратных ассоциативных алгебр.
- Машина Тьюринга и ее обобщения. Машина Тьюринга представляет из себя простейшую абстрактную модель компьютера. Она обладает бесконечной памятью, и может непосредственно обрабатывать только символы 0 и 1. В процессе работы над курсовой планируется рассмотреть обобщения стандартной машины Тьюринга. В частности планируется показать, что обобщения, которые могут непосредственно обрабатывают несколько символов, эквивалентны стандартной машине Тьюринге.
- Статистические характеристики креативного множества К. Креативное множество К является множеством так называемой проблемы остановки машины Тьюринга. В процессе работы планируется изучить последовательность, состоящую из 0 и 1, являющуюся приближением множества К и установить насколько "случайна" эта последовательность, исследуя различные ее статистические характеристики (в частности, среднее и дисперсию) и сравнивая с псевдослучайными последовательностями, полученными на компьютере.
