Интервью c академиком РАН Ю.Л. Ершовым и профессором Дж. Найт

С 2 по 6 июня в Казани прошла конференция «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», посвященная 210-летию Казанского университета, 80-летию со дня основания кафедры алгебры (ныне кафедра алгебры и математической логики) Казанского университета Н.Г. Чеботаревым и 70-летию со дня рождения зав. кафедрой члена-корреспондента АН РТ М.М. Арсланова. С почетными участниками конференции, академиком РАН профессором Ершовым Юрием Леонидовичем, лауреатом государственной премии в области науки и техники, директором ИМ СО РАН 2003-2011 гг., и профессором Джулией Найт, директором дипломных исследований отделения математики университета Нотр-Дама (США), беседуют сотрудники Казанского университета.

Казань на сегодняшний день является, наверное, одним из самых динамично развивающихся городов России. Были ли Вы здесь раньше? Какие ощущения сегодня оставляет наш город?

 Ю.Е.: Конечно, мне трудно не согласиться с тем, что Казань быстро развивающийся город. В частности, я был тут последний раз 2 года назад, и то заметны большие изменения, но и 2 года назад были заметны изменения по сравнению с предыдущими поездками.

 Д.Н.: Да, я была здесь в 1997 году на Международной конференции по теории вычислимости и теории сложности. Возможно, это была одна из первых международных встреч, организованных казанской математической группой. Мы были не в самой Казани, а за ее пределами, на базе отдыха. В город мы тоже заезжали и кое-что видели. Могу отметить, что Казань – приятный, красивый и современный город.

 У каждого города есть свое «лицо», что-то специфическое, присущее только ему. Что бы Вы могли отметить в качестве такой визитной карточки у Казани?

 Ю.Е.: В России есть, конечно, города, в которых можно увидеть Кремли, но Казанский Кремль – несомненно, одна из визитных карточек города. Также это пешеходная улица Баумана, где у каждого дома имеется своя история. У Казани, безусловно, есть свое приятное лицо.

 Д.Н.: Да, конечно, Кремль и главная пешеходная улица Казани восхитительны, но для меня визитная карточка – это, в первую очередь, Казанский Университет. Еще раньше я была впечатлена памятником Н.И. Лобачевскому, который находится на улице Кремлевской и посвящен великому математику.

 Ю.Е.: В Германии, наверное, есть памятник Гауссу.

 Д.Н.: Возможно, но у нас в Америке такого нет. Я имею в виду, нет памятников математикам.

 Большую роль в развитии города сыграла Универсиада-2013. Был совершен скачок в развитии инфраструктуры города. Интересно, но выясняется, что люди заграницей даже не знают, что это. Вы слышали об Универсиаде?

 Д.Н.: Нет, я не слышала об Универсиаде. Я узнала об этом событии только по приезду в Казань. Вообще, американские студенты занимаются спортом, например, футболом, баскетболом, но игры не носят олимпийского характера. Есть также бег, велоспорт, фитнес – все это для развлечения и удовольствия. Сама я раньше занималась бегом и сейчас остаюсь его любителем.

 Ю.Е.: Говоря о спорте и науке, я люблю спрашивать людей о Майкле Джордане. Все знают его как великого баскетболиста, но мало кто знает, что по специальности он математик.

 А как американские студенты вовлечены в культурную и общественную жизнь?

 Д.Н.: У нас много различных организаций для этого: студенческие клубы, музыкальные группы, оркестры. В моем университете есть профессиональные музыкальные коллективы, есть условия для камерного пения, театральный кружок, студенты выступают в университетских студиях, у них очень много возможностей для творчества.

 Казанский университет меняется, наверное, также быстро, как и город. Какие у Вас, как людей уже бывавших у нас, впечатления о сегодняшнем университете?

 Ю.Е.: За несколько дней трудно оценить, но я думаю, тот факт, что в университете регулярно проводятся международные конференции высокого уровня, уже о многом говорит. Наша конференция, несомненно, проходит на высоком уровне. Много иностранных участников, есть представители стран бывшего Советского Союза: Казахстана, Белоруссии, Грузии, Узбекистана. Представители Казахстана и Белоруссии приезжают регулярно, а вот таких стран, как Грузия и Узбекистан, нечасто. Приятно, что они продолжают общаться. В Эстонии и Литве также занимаются алгеброй и математической логикой, но их мы не видели уже с 90-х годов.

 Д.Н.: Раньше я уже бывала в вашем университете, но знакома с ним совсем немного. Сейчас могу также отметить, что здесь есть все необходимое для проведения конференций на должном уровне: современные технические средства, грамотный персонал и студенты-помощники. До конференции я посетила офис Арсланова и памятник Лобачевскому, с этого и начались знакомство с университетом и положительные впечатления.

 Сейчас в КФУ ставятся высокие задачи по продвижению в мировом рейтинге университетов. Вы учились в Калифорнийском университете в Беркли, в настоящее время работаете в университете Нотр-Дама. Похож ли наш университет на современный западный университет?

 Д.Н.: Достаточно сложно ответить на этот вопрос. Мой университет, конечно, находится не так высоко, как Беркли, но мы пытаемся добраться до лидеров. Думаю, мы с вами в равных позициях. В рамках предметной области данной конференции я думаю, в Новосибирске одна из лучших и многочисленных групп по алгебре и математической логике. И у вас, и у нас группы не такие большие, но ваша группа очень активная, имеет много контактов, например с новосибирской школой, мы же в свою очередь пытаемся расширить наши связи.

 Ю.Е.: У вас работает представитель новосибирской школы Сергей Старченко.

 Д.Н.: Да, он отличный специалист.

 Ю.Е.: Я раньше не знал, но вот на открытии конференции прозвучала интересная информация. Существуют так называемые ведущие научные школы, которые утверждает Совет при президенте. Так вот научная школа профессора Арсланова – единственная школа в КФУ, которая получила этот статус. Есть разные точки зрения по поводу рейтингов. Например, есть предложение оценивать по направлениям. Так вот данный факт говорит, что это направление признано в России.

 С одной стороны хорошо, что есть такая ведущая научная школа, с другой – плохо, что только одна. Может быть Вы слышали о школе Ильинского Николая Борисовича, занимавшаяся аэродинамическими задачами?

 Ю.Е.: Вообще не слышал, но в пользу казанской школы механиков говорит, что один из выпускников Казанского университета Фомин Василий Михайлович, председатель Сибирского отделения РАН, в настоящее время работает в Новосибирске и на высоком уровне занимается аэродинамическими задачами.

 Что Вас связывает с нашим университетом? С кем Вы общаетесь?

 Ю.Е.: Конечно, мы часто общаемся со школой Арсланова. Например, один из ярких представителей этой школы – Калимуллин Искандер. Он замечательный ученый, активно сотрудничает с нами. В частности, у него есть совместные работы с одним из наших докторов В.Г. Пузаренко. В Новосибирске часто проводятся конференции, например, ежегодные «Мальцевские чтения», на которых представительство Казани довольно большое.

 Д.Н.: Я встречалась с казанскими математиками и ранее. Конечно, в первую очередь это Арсланов – отличный человек и ученый, создавший сильную математическую группу.

 Ю.Е.: В ближайший день состоится защита докторской еще одного представителя казанской школы А.Н. Фролова. Кстати, это достаточно частая практика, когда дата защиты бывает приурочена ко времени конференции. Члены советов бывают иногородними, и это удобно для них приехать сразу и на защиту, и на конференцию. На Западе тоже проводят небольшие конференции до или после крупных конгрессов.

 Хотелось бы поговорить собственно о предмете конференции, об алгебре и математической логике. Вы в большей степени логики?

 Ю.Е.: Я, пожалуй, и алгебраист, и логик. Джулия, наверное, больше логик. Но чтобы заниматься логикой и приложениями, нужно знать и другие части математики. В частности, Джулия мне задала сегодня вопрос по алгебре, на который я пока не знаю ответ.

 Расскажите, пожалуйста, что такое математическая логика и каковы ее точки приложения?

 Ю.Е.: Говоря о фундаментальной науке, я бы не стал сводить все к приложениям. Вот раньше говорили, что физика оправдала себя после создания атомной бомбы и затем атомных электростанций. Так вот математическая логика в этом смысле полностью себя оправдала. А именно: в прошлом году математическая общественность отмечала 100-летия со дня рождения британского математика Алана Тьюринга, который в своей работе о вычислимых действительных числах предложил то, что сейчас называют машиной Тьюринга, а это принципиальная основа всех компьютеров, т.е. компьютеры придумали во многом математические логики. Поэтому математическая логика оправдала себя на 100 лет вперед. В развитии вычислительной техники или того, что сейчас называют computer science, большую роль сыграли, конечно, еще и другие люди. Назову еще два имени. Это Норберт Винер и Джон фон Нейман. Винер был аспирантом Бертрана Рассела, английского философа и основателя теории типов. И тот, и другой начинали свою научную деятельность именно как математические логики. Это, конечно, неслучайно.

 Д.Н.: Тьюринг также внес вклад в математическую биологию. Идея о реализации генов – почему глаза находятся на своем месте, а не на месте локтя, несмотря на то, что каждая клетка несет код всего тела. Тьюринг задумывался этими вопросами и начал формулировать идеи о том, почему так происходит. Сегодня эти идеи используются математиками-биологами.

 Ю.Е.: Ну, и конечно, такая вещь как искусственный интеллект. Тьюринг придумал тест, позволяющий отличать человека от машины. Сейчас это называется тест Тьюринга. Также он занимался чисто практическими вещами. Во время войны он возглавлял группу, которая занималась дешифровкой немецких кодов. Та шифровальная машина называлась "Энигма". Но несмотря на эти все военные, биологические приложения, то, что он придумал машину Тьюринга, полностью оправдывает математическую логику.

 Д.Н.: Сегодня был доклад В.А. Артамонова по алгебре на очень абстрактную тему, но он вдохновлен идеями из физики, и его исследования имеют применения в физике. Алгебра и математическая логика – очень абстрактные части математики, но они находят применения. И люди, занимающиеся ими, по крайней мере иногда думают о возможных приложениях.

 Ю.Е.: Вообще, я считаю, ученый, занимающийся фундаментальной наукой, не должен задумываться о практических приложениях своей науки. Это вредно для ее развития. А если он уж сделает хорошие открытия, то практические приложения обязательно найдутся.

 А применяется ли математическая логика в других, нематематических специальностях, например, юриспруденции?

 Ю.Е.: Сын профессора Арсланова Камиль окончил юридический факультет Казанского университета, и он говорил, что курс логики у них преподается, но математической логики у них нет. Если говорить об исторических аналогиях, то был такой знаменитый немецкий математик Лейбниц, он родился в семье юристов. Он защитил две диссертации: по логике и по математике. Он был один из первых, кто предложил создать универсальную логику, такую логику, с помощью который все ученые могли бы разрешать все свои проблемы в виде диспута с точными правилами. И это было в какой-то степени предтечей создания математической логики. Сам он ее не создал, но идею высказал. Так что и юристы оказали влияние на математическую логику.

 Д.Н.: В нашем университете на первом году обучения есть курс логики. Он разработан специально для философских, биологических, политических и других специальностей. Юристы, например, при сдаче экзамена по специальности должны ответить на вопросы логики.

 У любой науки есть разные периоды развития: зарождение, расцвет, кризис. Существует ли у математической логики период, который можно было бы назвать "золотым веком" математической логики?

 Д.Н.: Он идет сейчас! Действительно математическая логика интенсивно развивается на современном этапе, претерпевает расцвет.

 Ю.Е.: Да, я согласен с этим. Вообще, математическая логика как часть математики возникла из внутренних потребностей, а не с целью создания машины Тьюринга. На рубеже XIX и XX в. математика столкнулась с парадоксами. Были работы Кантора по теории множеств, и была неудачная попытка в учебных заведениях перевести математику на теоретико-множественный язык. Математики понимали, что понятие множества является наиболее общим, и все остальные понятия могут быть получены на основе понятия множества. Математический анализ, алгебра излагались, используя теоретико-множественный подход. Однако Гильберт как-то заявил: "В рае, который предложил Кантор, возникла проблема". Оказалось, что в самих основаниях теории множеств были обнаружены парадоксы. А именно некоторые утверждения и их отрицания доказывались равноубедительно. Возникла необходимость очистить математику от парадоксов. Были разные направления в основаниях математики: формализм, логицизм и др. Во всяком случае, математики озаботились тем, как обезопасить себя от парадоксов. И математическая логика возникла как ответ. Но полный ответ не был получен. Дело в том, что существуют знаменитые результаты Геделя. Интерес к его теореме о полноте вышел далеко за пределы математики. Сегодня о ней слышал практически любой философ, но понимает ли он, что это такое, - это уже другой вопрос.

 Каждый ее трактует, как хочет.

 Ю.Е.: Да, я про это и говорю. Тем не менее математическая логика сыграла большую роль в укреплении оснований математики. Я это объясняю таким образом. В математике еще со времен Евклида был предложен аксиоматический метод, заключающийся в том, что излагать теорию нужно с аксиом, которые не доказываются, а принимаются на веру. Раньше считалось, что это должны быть очевидные утверждения, сегодня считается, что очевидных истин не существует. Все остальные результаты же получаются как следствия аксиом. Чтобы получать следствия, нужны средства, одним из которых и является логика. И если логика такова, что не приводит к противоречиям, то и аксиоматическое изложение теории гарантирует, что мы не придем к противоречиям в самой теории. Фактически логика предложила основания для вывода следствий из аксиом. Такой аксиоматический метод, предложенный Евклидом, произвел впечатление на философов, и многие науки пытались излагать аксиоматическим методом: философию, биологию и др. Но даже если предложены аксиомы и правила логического вывода, существует проблема в том, люди пользуются обыденным языком, который допускает двусмысленность. И одним из достижений математической логики было то, что были предложены формальные языки, не допускающие двусмысленностей и настолько богатые, что позволяют сформулировать любые математические утверждения.

 Д.Н.: То, что может быть выражено формулами, говорит нам что-либо о классе объектов или об отношениях между объектами в структуре. А понятие определимости является действительно фундаментальным. И оно привело к взаимодействиям между теорией моделей, теорией чисел, алгеброй и геометрией. И тут много важных фундаментальных результатов. Начиная с понимания, что является определимым в некоторой структуре, и что можно выразить формулой в тех же терминах, что используется для аксиом. Вы рассматриваете X и задумываетесь, какие значения ему удовлетворяют. Глядя на формулы, вы видите, насколько они сложны, но иногда Вас может озарить: «О, я могу это вычислить!» или же сделать верное предположение об объекте.

 Ю.Е.: Я начал с того, что математическая логика создает богатые языки, такие, что можно использовать формулы для всех математических объектов. Это одно из важных достижений математической логики. Это и объясняет, почему люди, начинающие с математической логики, становятся пионерами компьютеров, так как они понимают, что компьютер - это не просто инструмент для ввода чисел (цифр), но и средство передачи и преобразования информации. Они понимают, что там применяется язык формул, язык математической логики, который выражает многие понятия. И Джулия сказала, что если вы можете выразить что-то формально, у вас больше возможностей.

 Существует ли сегодня какие-то проблемы в математической логике, ставящие под сомнение основания математики? Можно ли сказать, что математика в опасности?

 Д.Н.: Нет, сегодня математика хорошо защищена.

 Ю.Е.: В свое время была идея Гильберта о том, чтобы, используя язык математической логики, раз и навсегда доказать, что противоречий нет. Так сформулировать аксиомы и правила вывода, что мы не получим противоречий. А затем, используя математические методы, доказать это. Так вот теорема Геделя сказала, что это невозможно. Парадокс лжеца, кстати, содержит эти идеи. Но сказать, что есть какие-то проблемы, чтобы математики беспокоились, нельзя. Аксиоматический метод и язык математической логики создали более высокий уровень надежности математики. И сегодня не видно, где нас могут ожидать проблемы.

 Просто существует вопрос, можно ли доказательство считать доказательством.

 Ю.Е.: Нет, дело в том, что математическая логика фактически определила понятие доказательства как математический объект. И тогда стало возможным сказать, существует ли доказательство для того или иного утверждения. Стало понятно, что для некоторых утверждений доказательств нет.

 Д.Н.: Часто отрицательное решение проблемы может вести к большему количеству результатов, чем положительное. Одна из проблем Гильберта в известном списке определила направления развития в математике 20 века. 10-ая проблема заключалась в поиске алгоритма решения для любого полиномиального уравнения с произвольным числом неизвестных и целыми коэффициентами. Интерес представляет, имеет оно целые решение или нет. Гильберт верил, что есть алгоритм поиска решений, а оказалось, что нет, что гораздо более интересный ответ. Однако, если перейти от целых к рациональным числам, то проблема до сих пор открыта, но есть интересные подвижки в этой теме. Недавно Расселом Миллером была проведена определенная работа по решению этой проблемы. Речь идет о тех же полиномиальных уравнениях, но ищутся рациональные решения.

 Насколько мир математических логиков широк? Много ли людей занимается подобными проблемами?

 Ю.Е.: Специалистов по логике не так много по сравнению с другими областями. Алгеброй занимается значительно больше людей, дифференциальными уравнениями - еще больше. Это не такой уж и большой круг людей. Всех знать невозможно, так как появляется молодежь, но людей, начиная с определенного уровня, мы знаем всех.

 Д.Н.: Сейчас ситуация гораздо лучше, чем раньше. Появилась возможность общаться, обмениваться опытом, ученые Запада стали ближе с учеными России, Украины, Казахстана. Раньше был некий информационный барьер, мы не знали о разработках Советского Союза, вы не знали наших научных достижений. Со временем ситуация изменилась и мы начали сотрудничать. Я помню встречи в 70ые годы, когда в первый раз встретила Юрия Леонидовича, там было от силы шестеро русских. Мало кто и с Запада приезжал в Советский Союз. Было взаимодействие Джулии Робинсон и Ю.В. Матиясевича, решивших 10-ую проблему Гильберта. Тогда положение было сложным, сегодня мы знаем своих коллег, дружим, мы слушаем выступления молодых и видим людей, действительно интересующихся наукой. Некоторые мои студенты были в России, в Новосибирске, и это здорово.

 Ю.Е.: Кстати, Джулия Найт является почетным доктором Сибирского отделения РАН. Это означает, во-первых, ее высокий научный уровень и, во-вторых, показывает активное сотрудничество. Ежегодно она привозит молодых американских ученых и принимает у себя наших.

У нас есть хорошая школа Арсланова по математической логике. Сейчас работают несколько сильных молодых ученых, при этом занимаются только наукой. Не так давно была защищена первая докторская в этой области за долгие годы, это докторская Искандера Калимуллина. Насколько это направление популярно у Вас, есть ли такая специальность, поступают ли люди в аспирантуру?

 Д.Н.: В моем университете студенты больше занимаются математическая логикой, ведь у нас 4 логика, а это больше, чем в любом другом известном мне университете. Так что мы можем говорить в целом о большой группе в США. Мы пытаемся сравниваться с другими группами. Студенты могут оставаться в этой науке, некоторые и делают это. Не могу сказать, что логика популярна везде, в нашем университете – да, это популярная наука, наряду с топологией и дифференциальной геометрией. Также занимаются алгеброй, проводят большие семинары по логике, что привлекает студентов. Нас четверо, и мы всячески пытаемся привлечь студентов.

 Ю.Е.: В связи с развитием компьютеров должно быть и научное сопровождение. Например, существует прикладная математика, в которой разрабатываются алгоритмы решения конкретных проблем. Но сейчас сформировалось такое направление фундаментальной науки, как theoretical computer science, которое без логики обойтись не может, а для логики это источник новых задач. Важность этой области подчеркивает тот факт, что года два или три назад в Европе было создано общество Computability in Europe, вычислимость в Европе. Это общество занимается проведением больших конференций, на которые приглашают как логиков, так и специалистов по компьютерам и различным прикладным аспектам, каким-то новым направлениям в вычислениях, например, квантовым или биологическим вычислениям. Один из идеологов создания этого общества Барри Купер бывал в Казани, готов был приехать сюда, но как президент общества должен был остаться на совещании в Брюсселе. Так что появление и развитие компьютеров ставит новые задачи, особенно теоретическое осмысление деятельности компьютеров, оно тесно связано с логикой. Если юристы без математической логики еще могут обойтись, то специалисты по theoretical computer science точно нет.

 В контексте социальности математиков есть важный вопрос о цитируемости. Как вы относитесь к измерению научных достижений с помощью индекса цитируемости?

 Ю.Е.: Я отношусь к этому отрицательно. На ректоров давят министерства. Специально было создано Федеральное агентство научных организаций. Бюрократы хотят чисто формально все измерить, как в бухгалтерии. Что касается математики, то есть международный математический союз, объединяющий всех математиков. Раз в четыре года проходят конгрессы, и на одном из них была принята резолюция, в которой явно было сказано, что использование индекса цитирования не является правильным. Это бюрократический подход, но сам по себе он не вреден, даже самому бывает интересно знать. Кто ведет подсчет цитирований в Web of Science? Частное агентство Thomson Reuters, занимающееся публикацией научных журналов и извлекающее из этого прибыль. Им выгодно привлечь внимание к своим индексам, это чисто коммерческий интерес. Сейчас ФАНО разрабатывает критерии оценки научных организаций, в которых акцент делается на цитирования. Академик Паршин нашел документы в Англии, где было в явном виде сформулировано, что учитывать индекс цитирования для некоторых наук, в том числе математики, не является правильным. Таким образом, отношение научного сообщества к этому довольно скептическое, т.е. информация это полезная, но не может служить основанием для принятия административных решений. В частности, идея ФАНО заключается в следующем: по формальным признакам разделить все институты на три группы, третью группу расформировать, потом снова разделить на три группы, третью закрыть, и так каждые пять лет.

 Процесс сойдется?

 Ю.Е.: Процесс сойдется либо к нулю, либо к одному институту в Москве.

 Д.Н.: Мы должны писать отчеты каждый год и указывать цитируемость. Думаю, она наибольшая в химии, так как там очень много научных работ. В математике число работ небольшое.

 Ю.Е.: В экспериментальной физике в одной работе может быть по двести авторов с указанием всех лаборантов. Конечно, так и цитирования получить легче.

 Д.Н.: У меня есть совместная работа по теории управления с большим количеством цитат. Видимо это моя лучшая работа (смеется). Все зависит от поля деятельности.

У нас в университете сформировано несколько приоритетных научных направлений, которые наиболее поддерживаются финансово. Трудно сказать, насколько математика вписывается в эти направления.

 Д.Н.: У нас тоже есть нечто подобное, формируются приоритетные направления, основанные Research National Council, которые используют свою методологию. Существуют журналы с опросниками, касающиеся важности отдельных направлений. Администрация использует эту информацию.

 Насколько математика поддерживается в США государством?

 Д.Н.: У нас есть организация типа Министерства образования и науки и Национальный научный фонд, которые организуют финансирование для поддержки исследований. Сами университеты организуют поддержку факультетам, а также малое финансирование для начинающих проектов. Что касается конкретно математики, то фонды делят финансирование по направлениям, а внутри математики также есть направления.

Какие бы вы дали рекомендации для молодежи? Стоит ли заниматься наукой, математикой?

 Д.Н.: Если им нравится математика, то добро пожаловать в нее. Я была бы рада поработать с казанскими математиками. Приглашаю к нам, в университет Нотр-Дама.

 Ю.Е.: После того, что называется реформой Академии наук, я не могу с большим энтузиазмом звать молодежь заниматься наукой вообще. Не то, что я им говорю не заниматься наукой, а боюсь, что их позову, а они потом окажутся с пустыми руками. Но с другой стороны, я выступаю перед школьниками и говорю им, что университетская математика гораздо интереснее, чем школьная. Я приглашаю в университет, а что будет дальше - посмотрим.

Беседовали доцент кафедры моделирования экологических систем Артур Гильфанов и преподаватель кафедры английского языка для естественнонаучных специальностей Ольга Данилова.