Веревка вокруг земного шара

Предположим, мы опоясали земной шар по экватору прочной веревкой. Для упрощения считаем, что Земля является идеальной сферой с длиной экватора 40 тыс. км.

Затем мы хотим поднять веревку на высоту 1 метра от земли по всей окружности экватора. Имейте в виду, что веревка идет по всему миру, от Африки через Атлантику до Бразилии, сквозь Эквадор, через Тихий океан, до индонезийских островов, через Сингапур и Суматру, через Индийский океан снова до Африки. Так что если мы поднимем ее на высоту 1 метра, нам потребуется существенно увеличить  ее длину, не так ли?

Хорошо, давайте решим эту задачу, используя простую школьную математику. Вы помните из геометрии 6-го класса, что длина окружности задается формулой

С = 2πR

где C- длина окружности, а R – ее радиус.
 
Итак, чтобы найти увеличение длины веревки, мы просто берем длину веревки, когда она находится в 1 метре над землей, и вычитаем из нее длину веревки на земле. Разница в метрах между длинами веревок 2π(R+1) и 2πR равна всего лишь 2π, или 6 метров 28 сантиметров.
 
Интересно отметить, что ответ не зависит от размера Земли, а только от расстояния, на котором веревка находится над землей. Другими словами, знание длины окружности Земли не имеет значения. Это означает, что если вы натянете веревку вокруг апельсина (или вокруг Солнца), а потом сместите ее на 1 метр, увеличение длины веревки все равно будет таким же. Увеличение радиуса окружности на одну единицу дает увеличение длины окружности на 2π единиц.

Эту задачу можно сформулировать и обратным способом. Пусть у вас есть веревка, лежащая на земле вокруг экватора, и если вы как-то добавили 1 метр к длине веревки и аккуратно расправили ее в виде окружности с центром в центре Земли, поднимется ли веревка на достаточное расстояние, чтобы под ней мог проползти муравей? Рассчитайте эту величину самостоятельно.

А что получится, если экватор объекта вместо круглой формы (Земля, Солнце, апельсин) имеет квадратную форму? Треугольную форму?