Большинство всегда право?

Многие вопросы, как известно, решаются голосованием. Нам кажется, что решение, принятое большинством голосов, должно быть правильным. Точнее, что вероятность того, что решение – правильное, выше в том случае, если оно было принято большинством (а не кем-либо единолично). Однако подойдём к этому вопросу более строго и исследуем его с математической точки зрения.

Итак, предположим, что любой член жюри делает «правильный» выбор из какого-то количества вариантов с вероятностью p < 0,5. Члены жюри делают выбор независимо друг от друга и решение принимается большинством голосов. Жюри состоит из трех человек. Кто с большей вероятностью сделает «правильный» выбор – один член жюри или все жюри?

Понятно, что один член жюри сделает «правильный» выбор с вероятностью  p ,  а «неправильный» выбор с вероятностью  q = 1 - p. Введём переменную a_i = 1, если i-ый член жюри делает правильный выбор ( в противном случае a_i = 0) и составим вектор w = (a₁, a₂, a₃). Ясно, что выбор жюри будет правильным, если сумма a₁   +  a₂   +  a₃  больше или равна 2.  Нетрудно посчитать вероятность этого события. Она равна:

P = C(3,3) p³  +  C(3,2) p²q =  p³ + 3 p²q.  

(Здесь C(n,m) - число сочетаний из n объектов по m.)

Найдём разность вероятностей правильного выбора (вычтем найденную вероятность коллективного принятия правильного решения из p (вероятности единолично сделать правильный выбор)). Несложными преобразованиями (предлагаем Вам сделать их самостоятельно) получим величину:

qp(1 - 2p).

Нас интересует знак этой величины. Поскольку, по предположению, p < 0,5, нетрудно показать, что она положительна (Вы также можете убедиться в этом самостоятельно), т.е.

p >  p³ + 3 p²q.

Таким образом, мы приходим к удивительному выводу:

при p < 0,5 один человек сделает «правильный» выбор с большей вероятностью, чем жюри из трех человек! 
 

Можно показать, что это утверждение верно для всех жюри из нечетного количества членов.