Анализ формул численного дифференцирования функций с большими градиентами на сетке Бахвалова

Н.А. Задорин

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 630090, Россия

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

Полный текст PDF

DOI: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.261-275

Для цитирования: Задорин Н.А. Анализ формул численного дифференцирования функций с большими градиентами на сетке Бахвалова // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2021. – Т. 163, кн. 3–4. – С. 261–275. – doi: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.261-275.

For citation : Zadorin N.A. Analysis of formulas for numerical differentiation of functions with large gradients on a Bakhvalov mesh. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 163, no. 3–4, pp. 261–275. doi: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.261-275. (In Russian)

Аннотация

В работе проведена оценка погрешности формул численного дифференцирования на сетке Бахвалова при наличии экспоненциального пограничного слоя. Проблема состоит в том, что применение классических полиномиальных формул для вычисления производных в случае равномерной сетки при наличии пограничного слоя может приводить к существенным погрешностям. Сетка Бахвалова широко применяется при построении разностных схем для сингулярно возмущенных задач, и анализ формул численного дифференцирования на этой сетке представляет интерес. Получены оценки погрешности некоторых широко применяемых разностных формул для вычисления производных на сетке Бахвалова с учетом равномерности по малому параметру. Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие полученные оценки погрешностей.

Ключевые слова: функция одной переменной, пограничный слой, большие градиенты, сетка Бахвалова, формулы численного дифференцирования, оценка погрешности

Благодарности. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-31-60009.

Литература

1. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1969. – Т. 9, № 4. – С. 841–890.

2. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. – Екатеринбург: УрО РАН, 1992. – 233 с.
3. Задорин А.И., Задорин Н.А. Сплайн-интерполяция на равномерной сетке функции с погранслойной составляющей // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 2010. – Т. 50, № 2. – С. 221–233.
4. Kopteva N.V., Stynes M. Approximation of derivatives in a convection-diffusion two-point boundary value problem // Appl. Numer. Math. – 2001. – V. 39. – P. 47–60.
5. Shishkin G.I. Approximations of solutions and derivatives for a singularly perturbed elliptic convection-diffusion equations // Math. Proc. R. Ir. Acad. – 2003. – V. 103A, No 2. – P. 169–201.
6. Задорин А.И. Анализ формул численного дифференцирования на сетке Шишкина при наличии пограничного слоя // Сиб. журн. вычисл. матем. – 2018. – Т. 21, № 3. – С. 243–254. – doi: 10.15372/SJNM20180301.
7. Zadorin A.I., Zadorin N.A. Interpolation formula for functions with a boundary layer component and its application to derivatives calculation // Sib. Èlektron. Mat. Izv. – 2012. – V. 9. – P. 445–455.
8. Ильин А.М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Матем. заметки. – 1969. – Т. 6, № 2. – C. 237–248.
9. Zadorin A., Tikhovskaya S. Formulas of numerical differentiation on a uniform mesh for functions with the exponential boundary layer // Int. J. Numer. Anal. Model. – 2019. – V. 16, No 4. – P. 590–608.
10. Il’in V.P., Zadorin A.I. Adaptive formulas of numerical differentiation of functions with large gradients // J. Phys.: Conf. Ser. – 2019. – V. 1260. – Art. 042003, P. 1–7.– doi: 10.1088/1742-6596/1260/4/042003.
11. Blatov I.A., Zadorin A.I., Kitaeva E.V. An application of the exponential spline for the approximation of a function and its derivatives in the presence of a boundary layer // J. Phys.: Conf. Ser. – 2018. – V. 1050. – Art. 012012, P. 1–7. – doi: 10.1088/1742-6596/1050/1/012012.
12. Blatov I.A., Zadorin A.I., Kitaeva E.V. Approximation of a function and its derivatives on the basis of cubic spline interpolation in the presence of a boundary layer // Comput. Math. Math. Phys. – 2019. – V. 59, No 3. – P. 343–354. – doi: 10.1134/S0965542519030047.
13. Linß T. The necessity of Shishkin decompositions // Appl. Math. Lett. – 2001. – V. 14, No 7. – P. 891–896. – doi: 10.1016/S0893-9659(01)00061-1.
14. Linß T. Layer-Adapted Meshes for Reaction-Convection-Diffusion Problems. – Berlin: Springer, 2010. – 233 p.
15. Блатов И.А., Задорин Н.А. Интерполяция на сетке Бахвалова при наличии экспоненциального пограничного слоя // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 4. – С. 497–508. – doi: 10.26907/2541-7746.2019.4.497-508.

Поступила в редакцию

03.02.2021

Задорин Никита Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

пр. Академика Коптюга, д. 4, г. Новосибирск, 630090, Россия

E-mail: nik-zadorin@yandex.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.