О сходимости неявной разностной схемы для задачи насыщенной фильтрационной консолидации с предельным градиентом

В.Л. Гнеденкова, М.Ф. Павлова, Е.В. Рунг

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

Полный текст PDF

DOI: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.250-260

Для цитирования: Гнеденкова В.Л., Павлова М.Ф., Рунг Е.В. О сходимости неявной разностной схемы для задачи насыщенной фильтрационной консолидации с предельным градиентом // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2021. – Т. 163, кн. 3–4. – С. 250–260. – doi: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.250-260.

For citation: Gnedenkova V.L., Pavlova M.F., Rung E.V. Convergence of an implicit difference scheme for the problem of saturated filtration consolidation with a limiting gradient. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 163, no. 3–4, pp. 250–260. doi: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.250-260. (In Russian)

Аннотация

Работа посвящена исследованию сходимости неявной разностной схемы для одномерной начально-краевой задачи, моделирующей процесс фильтрационной консолидации с предельным градиентом. С математической точки зрения эта модель представляет собой систему уравнений в частных производных относительно перемещений упругой среды и давления жидкости, уравнение относительно давления – вырождающееся с нелинейностью в пространственном операторе, порождающей негладкость решения. В связи с этим исследование сходимости проводилось при минимальных условиях на гладкость исходных данных. Оно основано на получении ряда априорных оценок, позволяющих в дальнейшем с помощью метода монотонности установить сходимость кусочно-постоянных восполнений разностного решения к обобщенному решению рассматриваемой задачи. Аппроксимация пространственного оператора осуществлялась с помощью метода сумматорных тождеств.

Ключевые слова: фильтрация, фильтрационная консолидация, разностная схема, сходимость разностной схемы

Литература

1. Кадыров Ф.М., Костерин А.В., Скворцов Э.В. Плоская задача фильтрационной консолидации для упругого полупространства с разрывными начальными условиями // Прикл. механика и техн. физика. – 2016. – Т. 57, № 6. – С. 132–138.
2. Зарецкий Ю.К. Теория консолидации грунтов. – М.: Наука, 1967. – 270 с.
3. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. – М.: Недра, 1984. – 232 с.
4. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media // J. Appl. Phys. – 1962. – V. 33, No 4. – P. 1482–1498. – doi: 10.1063/1.1728759.
5. Егоров А.Г., Костерин А.В., Скворцов Э.В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1990. – 102 с.
6. Pavlova M.F., Rung E.V. On the solvability of the problem of saturated-unsaturated filtration consolidation // Differ. Equations. – 2012. – V. 48, No 7. – P. 990–1004. – doi: 10.1134/S0012266112070105.
7. Pavlova M.F., Rung E.V. On the existence of a generalized solution of the saturated-unsaturated filtration problem // Diff. Equat. – 2018. – V. 54, No 3. – P. 352–362. – doi: 10.1134/S0012266118030072.
8. Даутов Р.З., Дроботенко М.И., Ляшко А.Д. Исследование корректности обобщенного решения задачи фильтрационной консолидации // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 4. – С. 515–521.
9. Diersch H.-J.G., Perrochet P. On the primary variable switching technique for simulating unsaturated-saturated flows // Adv. Water Resour. – 1999. – V. 23, No 3. – P. 271–301. – doi: 10.1016/S0309-1708(98)00057-8.
10. Ахтареев А.А., Даутов Р.З. Метод смешанной переменной для моделирования насыщенно-ненасыщенных течений // Учен. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2007. – Т. 149, кн. 4. – С. 58–72.
11. Williams G.A., Miller C.T., Kelley C.T. Transformation approaches for simulating flow in variably saturated porous media // Water Resour. Res. – 2000. – V. 36, No 4. – P. 923–934. – doi: 10.1029/1999WR900349.
12. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 с.

Поступила в редакцию

19.04.2021

Гнеденкова Валентина Львовна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры вычислительной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: Valentina.Gnedenkova@kpfu.ru

Павлова Мария Филипповна, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: M.F.Pavlova@mail.ru

Рунг Елена Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: HelenRung@mail.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.