Об определении напряженного состояния упруго-пористой среды
Микишанина Е.А., Терентьев А.Г.
Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова, г. Чебоксары, 428015, Россия
Аннотация
Исследована модель упругой пористой сплошной среды для моделирования процесса проникания жидкости или газа в упругое пористое тело. Подобные процессы могут возникать при воздействии жидкости под высоким давлением, например, на пласты каменного угля или на глубокопогруженное твердое тело типа бетон, стекло и др. В предположении об упругом теле как пучка капилляров установлена линейная связь между коэффициентом фильтрации и первым инвариантом тензора напряжений. Поэтому проблема фильтрации через деформируемую упругую среду сведена к двум задачам: определение тензора напряжений и решение задачи фильтрации с найденным коэффициентом фильтрации. В общем случае обе задачи являются сложными для аналитического исследования, но могут быть решены численно, например, с помощью метода конечных элементов. Проблема значительно упрощается для бесконечно длинных цилиндрических тел. В настоящей работе в рамках одновременного выполнения закона Гука и закона Дарси с постоянным коэффициентом фильтрации рассмотрена простейшая математическая модель плоского упругого напряженного состояния в поперечном поле весомости. В этом случае упругая деформация описывается бигармонической функцией Эри, фильтрация – гармонической функцией. На основе интегральной формулы Грина для определения искомых функций составлены интегральные соотношения, которые объединены в одну систему. Для численного решения использован метод граничных элементов, благодаря которому задача сведена к системе линейных уравнений. На примере круглой трубы проведен сравнительный анализ численного и аналитического решений. Получены также численные значения искомых параметров для трубы эллиптической формы.
Ключевые слова: упруго-пористая среда, фильтрация, напряжения, давление, гармоническое уравнение, бигармоническое уравнение, численные методы
Литература
1. Аль-Джубори А., Джонстон Ш., Бойер Ч., Ламберт С.У., Бустос О.A., Пэшин Д.С., Рэй Э. Метан угольных пластов: чистая энергия для всего мира // Нефтегазовое обозр. – 2009. – Т. 21, № 2. – С. 4–17.
2. Terentiev A.G. Deep water technology: Problems and solutions // World Marit. Technol. Conf. – Saint-Petersburg, 2012. – P. 1–7.
3. Бриджмен П. Новейшие работы в области высоких давлений // Усп. физ. наук. – 1947. – Т.XXXI, Вып. 2. – С. 210–263.
4. Biot M.A. General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous materials // J. Appl. Mech. – 1956. – V. 23, No 1. – P. 91–96.
5. Терцаги К. Теория механики грунтов. – М.: Госстройиздат. – 1961. – 544 c.
6. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. – М.: Наука. – 1977. – 664 c.
7. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1972. – 195 c.
8. Котляр Л.М., Скворцов Э.В. О нелинейной фильтрации в области с криволинейной границей // Труды семинара по краевым задачам. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1974. – № 11. – С. 90–99.
9. Кадыров Ф.М., Костерин А.В. Фильтрационная консолидация в пористой упругой среде с разрывными начальными условиями // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2016. – Т. 158, кн. 2. – С. 262–275.
10. Кадыров Ф.М. Плоская задача консолидации с разрывными начальными условиями // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2013. – Т. 155, кн. 3. – С. 63–70.
11. Костерин А.В., Павлова М.Ф., Шемуранова Е.В. Численное исследование фильтрационной консолидации // Матем. моделирование. – 2001. – Т. 13, № 9. – С. 63–70.
12. Вабищевич П.Н., Григорьев А.В. Численное моделирование фильтрации флюида в анизотропной трещиновато-пористой среде // Сиб. журн. вычисл. матем. – 2016. – Т. 19, № 1. – С. 61–74. – doi: 10.15372/SJNM20160105.
13. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа . – М.-Л.: Гостехиздат, 1950. – 676 с.
14. Казакова А.О, Терентьев А.Г. Численные моделирование плоской задачи о напряженном состоянии трубы, погруженной в жидкость // Прикл. матем и механика. – 2014. – Т. 78, № 5. – С. 721–727.
15. Демидов С.П. Теория упругости. – M.: Высш. шк., 1979. – 432 c.
16. Terentiev A.G., Kirschner I.N., Uhlman J.S. The Hidrodynamics of Cavitating Flows. – USA: Backbone Publ. Comp., 2011. – 598 p.
17. Микишанина Е.А. Компьютерное моделирование решений плоской краевой задачи теории фильтрации // Вестн. Чуваш. ун-та. – 2016. – № 1. – C. 145–153.
Поступила в редакцию
25.11.16
Микишанина Евгения Арифжановна, старший преподаватель кафедры актуарной и финансовой математики
Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова
Московский пр., д. 15., г. Чебоксары, 428015, Россия
E-mail: evaeva_84@mail.ru
Терентьев Алексей Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики и теоретической механики имени С.Ф. Сайкина
Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова
Московский пр., д. 15., г. Чебоксары, 428015, Россия
E-mail: agterent@rambler.ru
Для цитирования: Микишанина Е.А., Терентьев А.Г. Об определении напряженного состояния упруго-пористой среды // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 2. – С. 204–215.
For citation: Mikishanina E.A., Terentiev A.G. On determination of the stress state of an eslastic-porous medium. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 2, pp. 204–215. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.
