Точное решение типа Куэтта – Пуазейля для установившихся концентрационных течений
Институты и факультеты
Главная \ Наука \ Научные издания КФУ \ Ученые записки Казанского университета \ Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки \ Архив

Точное решение типа Куэтта – Пуазейля для установившихся концентрационных течений

Н.В. Бурмашева, Е.Ю. Просвиряков

Институт машиноведения имени Э.С. Горкунова УрО РАН, г. Екатеринбург, 620049, Россия

Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, 620002, Россия

 

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

Полный текст PDF

DOI: 10.26907/2541-7746.2022.4.285-301

Для цитирования: Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Точное решение типа Куэтта – Пуазейля для установившихся концентрационных течений // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2022. – Т. 164, кн. 4. – С. 285–301. – doi: 10.26907/2541-7746.2022.4.285-301.

For citation: Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. Exact solution of the Couette–Poiseuille type for steady concentration flows. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2022, vol. 164, no. 4, pp. 285–301. doi: 10.26907/2541-7746.2022.4.285-301. (In Russian)

 

Аннотация

Представлено новое точное решение, позволяющее прогнозировать свойства поля скорости, давления и распределения примеси при установившихся сдвиговых течениях вязких несжимаемых жидкостей в протяженном горизонтальном слое. Для описания концентрационной конвекции построена математическая модель на основе уравнений Обербека – Буссинеска с линейной зависимостью плотности от концентрации. Полагается, что одна из границ слоя (нижняя) является непроницаемой для растворенного в жидкости вещества (примеси) и на ней полагается справедливым эффект прилипания жидкости. Течение индуцируется неоднородным распределением примеси и давления на верхней границе рассматриваемого слоя. На верхней границе задается однородное распределение скоростей. Построенное решение принадлежит семействам Остроумова – Бириха и Линя – Сидорова – Аристова. Поле скоростей описывается двумерным профилем Куэтта, то есть обе компоненты скорости зависят от вертикальной поперечной координаты. Концентрация и давление описываются линейными формами относительно горизонтальных (продольных) координат с коэффициентами, зависящими от третьей координаты. Структура точного решения выбрана таким образом, чтобы тождественно удовлетворялось уравнение несжимаемости. Это позволило разрешить переопределенную квадратично нелинейную систему в частных производных. Неизвестные функции, определяющие гидродинамические поля, после подстановки в стационарную систему уравнений Обербека – Буссинеска, дополненную уравнениями диффузии и несжимаемости, найдены посредством интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система имеет тринадцатый порядок и допускает точное полиномиальное решение. Показано, что данное решение способно описывать возникновение нескольких зон противотечений и немонотонный характер удельной кинетической энергии, имеющей до двух нулей. Полученные точные решения способны иллюстрировать множественную стратификацию поля касательных напряжений, поля давления и концентрационного поля. Таким образом, гидродинамические поля имеют сложную топологию, определяемую зависимостью скоростей, давления и концентрации от поперечной координаты.

Ключевые слова: концентрационная конвекция, точное решение, течение Куэтта – Пуазейля

Литература

  1. Бирих Р.В., Мазунина Е.С. Термокапиллярная конвекция в плоском слое жидкости с концентрационными источниками тепла // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2009. – № 1. – С. 3–12.
  2. Колесников А.К., Якушин В.И. О конвективной неустойчивости смеси с концентрационными источниками тепла // Инж.-физ. журн. – 1979. – Т. 36, № 4. – С. 708–714.
  3. Колесников А.К., Якушин В.И. О возникновении конвекции в смеси с концентрационными источниками тепла // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. – 1980. – № 6. – С. 21–27.
  4. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Влияние интенсивности адсорбционно-десорбционных процессов на концентрационную конвекцию около капли в горизонтальном канале // Вычисл. механика сплошных сред. – 2010. – Т. 3, № 1. – С. 24–31.
  5. Бирих Р.В., Мазунина Е.С., Мизев А.И., Рудаков Р.Н. Концентрационная конвекция, инициируемая затопленным источником ПАВ // Конвективные течения. – 2009. – № 4. – С. 063–084.
  6. Бирих Р.В., Денисова М.О., Костарев К.Г. Возникновение конвекции Марангони, вызванной локальным внесением поверхностно активного вещества // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2011. – № 6. – С. 56–68.
  7. Зуев А.Л., Костарев К.Г. Особенности концентрационно-капиллярной конвекции // Усп. физ. наук. – 2008. – Т. 178, № 10. – С. 1065–1085.
  8. Зуев А.Л., Костарев К.Г. Экспериментальное исследование особенностей концентрационно-капиллярной конвекции // Вестн. Перм. науч. центра УрО РАН. – 2009. – № 4. – С. 4–15.
  9. Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Точное решение для установившихся конвективных концентрационных течений типа Куэтта // Вычисл. механика сплошных сред. – 2020. – Т. 13, № 3. – С. 337–349. – doi: 10.7242/1999-6691/2020.13.3.27.
  10. Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю., Спевак Л.Ф. Нестационарная слоистая тепловая и концентрационная конвекция Марангони вязкой жидкости // Вычисл. механика сплошных сред. – 2015. – Т. 8, № 4. – C. 445–456.
  11. Федюшкин А.И. Влияние гравитации на массоперенос при кристаллизации фосфатов кальция из растворов в термостатированных условиях: Препринт № 1092. – М.: Ин-т проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, 2015. – 27 с.
  12. Гадияк Г.В., Чеблакова Е.А. Конвекция и перенос тепла в жидкости при пониженной гравитации и учете термокапиллярных эффектов // Вычисл. технологии. – 1999. – Т. 4, № 5. – С. 10–23.
  13. Евстратова К.И., Кунина Н.А., Малахова Е.Е. Физическая и коллоидная химия. – М.: Высш. шк., 1990. – 487 с.
  14. Бирих Р.В. Колебательные режимы концентрационной конвекции и особенности постановки граничных условий на межфазных границах // Вестн. Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4. – С. 647–649.
  15. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. – М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1952. – 256 с.
  16. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Прикл. механика и техн. физика. – 1966. – № 3. – С. 69–72.
  17. Бирих Р.В., Пухначев В.В. Осевое конвективное течение во вращающейся трубе с продольным градиентом температуры // Докл. Акад. наук. – 2011. – Т. 436, № 3. – С. 323–327.
  18. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. – Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006. – 155 с.
  19. Бирих Р.В., Пухначев В.В., Фроловская О.А. Конвективное течение в горизонтальном канале с неньютоновской реологией поверхности при нестационарном продольном градиенте температуры // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2015. – № 1. – С. 192–198.
  20. Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование поля скоростей // Вестн. Сам. гос. техн. унив. Сер. физ.-мат. науки. – 2017. – Т. 21, № 1. – C. 180–196. – doi: 10.14498/vsgtu1527.
  21. Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование полей температуры и давления // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2017. – Т. 21, № 4. – С. 736–751. – doi: 10.14498/vsgtu1568.
  22. Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. Сonvective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Velocity field investigation // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2019. – Т. 23, № 2. – С. 341–360. – doi: 10.14498/vsgtu1670.
  23. Власова С.С., Просвиряков Е.Ю. Конвективное движение охлаждаемой снизу жидкости по параболическому закону при учете теплообмена на свободной границе // Изв. вузов. Авиац. техн. – 2016. – № 4. – С. 82–87.
  24. Гончарова О.Н., Резанова Е.В. Пример точного решения стационарной задачи о двухслойных течениях при наличии испарения на границе раздела // Прикл. механика и техн. физика. – 2014. – Т. 55, № 2. – С. 68–79.
  25. Горшков А.В., Просвиряков Е.Ю. Аналитические решения стационарной сложной конвекции, описывающие поле касательных напряжений разного знака // Труды ИММ УрО РАН. – 2017. – Т. 23, № 2. – С. 32–41. – doi: 10.21538/0134-4889-2017-23-2-32-41.
  26. Князев Д.В. Решения уравнений движения вязкой жидкости с нелинейной зависимостью вектора скорости от некоторых пространственных переменных // Прикл. механика и техн. физика. – 2018. – Т. 59, № 5. – С. 185–190. – doi: 10.15372/PMTF20180521.
  27. Кузнецова Ю.Л., Скульский О.И. Расслоение потока жидкости с немонотонной зависимостью напряжения течения от скорости деформации // Вычисл. механика сплошных сред. – 2018. – Т. 11, № 1. – С. 68–78.
  28. Мелешко С.В., Пухначев В.В. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье – Стокса // Прикл. механика и техн. физика. – 1999. – Т. 40, № 2. – С. 24–33.
  29. Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье – Стокса с обобщенным разделением переменных // Докл. Акад. наук. – 2001. – Т. 380, № 4. – С. 491–496.
  30. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Уравнения нестационарного пограничного слоя: Общие преобразования и точные решения // Теорет. основы хим. технологии. – 2001. – Т. 35, № 6. – С. 563–573.
  31. Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Термокапиллярная конвекция вертикально завихренной жидкости // Теорет. основы хим. технологии. – 2020. – Т. 54, № 1. – С. 114–124. – doi: 10.31857/S0040357119060034.
  32. Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. Convective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Velocity field investigation // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2019. – Т. 23, № 2. – С. 341–360. – doi: 10.14498/vsgtu1670.
  33. Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. Convective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Temperature field investigation // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2020. – Т. 24, № 3. – С. 528–541. – doi: 10.14498/vsgtu1770.
  34. Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. On Marangoni shear convective flows of inhomogeneous viscous incompressible fluids in view of the Soret effect // J. King Saud Univ. – 2020. – V. 32, No 8. – P. 3364–3371. – doi: 10.1016/j.jksus.2020.09.023.
  35. Burmasheva N.V., Privalova V.V., Prosviryakov E.Y. Layered Marangoni convection with the Navier slip condition // S˜adhana˜. – 2021. – V. 46. – Art. 55. – doi: 10.1007/s12046-021-01585-5.
  36. Privalova V.V., Prosviryakov E.Yu. Couette–Hiemenz exact solutions for the steady creeping convective flow of a viscous incompressible fluid with allowance made for heat recovery // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2018. – Т. 22, № 3. – С. 532–548. – doi: 10.14498/vsgtu1638.
  37. Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Исследование температурного поля в слоистых течениях вертикально завихренной вязкой несжимаемой жидкости при задании двух термокапиллярных сил на свободной границе // DReaM. – 2019. – № 1. – С. 6–42.
  38. Burmasheva N.V., Prosviryakov Y.E. Investigation of a velocity field for the Marangoni shear convection of a vertically swirling viscous incompressible fluid // AIP Conf. Proc. – 2018. – V. 2053, No 1. – Art. 040011.
  39. Андреев В.К. Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения: Препринт 1-10. – Красноярск: ИВМ СО РАН, 2010. – 68 с.
  40. Андреев В.К., Степанова И.В. Однонаправленные течения бинарных смесей в модели Обербека – Буссинеска // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2016. – № 2. – С. 13–24.
  41. Poiseuille J.-L.-M. Recherches exp´erimenteles sur le mouvement des liquides dans les tubes de tr`es petits diam`etres // C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. – 1840. – V. 11. – P. 961–967.
  42. Poiseuille J.-L.-M. Recherches exp´erimenteles sur le mouvement des liquides dans les tubes de tr`es petits diam`etres // C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. – 1840. – V. 11. – P. 1041–1048.
  43. Poiseuille J.-L.-M. Recherches exp´erimenteles sur le mouvement des liquides dans les tubes de tr`es petits diam`etres (suite) // C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. – 1841. – V. 12. – P. 112–115.
  44. Аристов С.Н., Князев Д.В. Новое точное решение задачи о вращательно-симметричном течении Куэтта – Пуазейля // Прикл. механика и техн. физика. – 2007. – Т. 48, № 5 – С. 71–77.
  45. Трошкин О.В. К нелинейной устойчивости течений Куэтта, Пуазейля и Колмогорова в плоском канале // Докл. Акад. наук. – 2012. – Т. 443, № 1. – С. 29–33.
  46. Попов Д.И., Утемесов Р.М. Эффективный спектральный метод для исследования устойчивости дисперсных течений // Изв. Алт. гос. ун-та. – 2016. – № 1. – С. 52–57. – doi: 10.14258/izvasu(2016)1-08.
  47. Алексеев В.В., Гусев А.М. Свободная конвекция в геофизических процессах // Усп. физ. наук. – 1983. – Т. 141, № 2. – С. 311–343.
  48. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения в тонких слоях жидкости. – Киров: ВятГУ, 2011. – 207 с.
  49. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Конвективный теплообмен при локализованном нагреве плоского слоя несжимаемой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2013. – № 3. – С. 53–58.
  50. Аристов С.Н., Шварц К.Г. О влиянии солеобмена на циркуляцию жидкости в замкнутом водоеме // Морской гидрофиз. журн. – 1990. – № 4. – С. 38–42.
  51. Булгаков С.Н. Исследование роли халинных факторов в формировании циркуляции и структуры вод Черного моря: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Севастополь, 1986. – 155 с.
  52. Булгаков С.Н., Коротаев Г.К. Аналитическая модель струйной циркуляции в замкнутых водоемах // Морской гидрофиз. журн. – 1987. – № 3. – С. 434–446.
  53. Lin C.C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Arch. Ration. Mech. Anal. – 1957. – V. 1, No 1. – P. 391–395. – doi: 10.1007/BF00298016.
  54. Сидоров А.Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // Прикл. механика и техн. физика. – 1989. – № 2. – С. 34–40.
  55. Аристов С.Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости: Автореф. дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Владивосток, 1990. – 32 с.

Поступила в редакцию

19.04.2022

 

Бурмашева Наталья Владимировна, кандидат технических наук, старший научный сотрудник; доцент департамента информационных технологий и автоматики

Институт машиноведения имени Э.С. Горкунова УрО РАН

ул. Комсомольская, д. 34, г. Екатеринбург, 620049, Россия

Уральский федеральный университет

ул. Мира, д. 19, г. Екатеринбург, 620002, Россия

E-mail: nat_burm@mail.ru

 

Просвиряков Евгений Юрьевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник; профессор департамента информационных технологий и автоматики

Институт машиноведения имени Э.С. Горкунова УрО РАН

ул. Комсомольская, д. 34, г. Екатеринбург, 620049, Россия

Уральский федеральный университет

ул. Мира, д. 19, г. Екатеринбург, 620002, Россия

E-mail: evgen_pros@mail.ru

 

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


Версия для печати Версия для печати
Ключевые слова: Бурмашева, Ученые записки
Вход в личный кабинет
Ваш логин
Ваш пароль
Забыли пароль? Регистрация