Накрывающие группы и их приложения: обзор

Р.Н. Гумеров

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

ОБЗОРНАЯ СТАТЬЯ

Полный текст PDF

DOI: 10.26907/2541-7746.2022.1.5-42

Для цитирования: Гумеров Р.Н. Накрывающие группы и их приложения: обзор // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2022. – Т. 164, кн. 1. – С. 5–42. – doi: 10.26907/2541-7746.2022.1.5-42.

For citation: Gumerov R.N. Covering groups and their applications: A survey. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2022, vol. 164, no. 1, pp. 5–42. doi: 10.26907/2541-7746.2022.1.5-42. (In Russian)

Аннотация

Дан обзор теорем о накрывающих группах и их приложений. При рассмотрении накрывающего отображения из топологического пространства на топологическую группу естественно возникает вопрос о подъеме групповой структуры с базы накрытия на его накрывающее пространство. Существуют ли на накрывающем пространстве групповые операции, после введения которых это пространство превращается в топологическую группу, а исходное накрывающее отображение – в морфизм топологических групп? Всякое утверждение, в котором дается положительный ответ на этот вопрос для какого-либо класса накрывающих отображений, называется теоремой о накрывающей группе. Представлены основные этапы доказательства теоремы о накрывающей группе для конечнолистных накрывающих отображений из связных топологических пространств на произвольные компактные связные группы. Эта теорема и метод ее доказательства имеют целый ряд интересных приложений в анализе, топологии и топологической алгебре. В настоящем обзоре приведены результаты о накрытиях топологических групп, полученные применением этой теоремы или с использованием аппроксимационной конструкции, построенной при ее доказательстве. К ним относятся теоремы, устанавливающие тесную связь между конечнолистными накрытиями компактных связных абелевых групп и многочленами над банаховыми алгебрами непрерывных функций, которые называются многочленами Вейерштрасса. Говоря неформально, все конечнолистные накрытия компактных связных абелевых групп определяются множествами нулей простых многочленов Вейерштрасса. Рассмотрены связные накрытия P-адических соленоидов. Полное описание таких конечнолистных накрытий получается с использованием упомянутой выше аппроксимационной конструкции. Описаны приложения теорем о накрывающих группах и их следствий к исследованию структуры конечнолистных накрытий и к проблеме существования обобщенных средних на топологических группах. Рассмотрены также приложения, связанные со свойствами решений алгебраических уравнений с непрерывными коэффициентами.

Ключевые слова: алгебраическое уравнение с непрерывными коэффициентами, многообразие Вейерштрасса, многочлен Вейерштрасса, накрывающая группа, накрывающее отображение на топологическую группу, накрывающий гомоморфизм, оверлей, P-адический соленоид, полиномиальное накрытие, теорема о накрывающей группе

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность профессору В. Матиевич за присланные копии статей и профессору В.Л. Хансену за полезную информацию о полиномиальных накрытиях, содержащуюся в переписке.

Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета («ПРИОРИТЕТ-2030»).

Литература

1. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. – М.: Наука, 1984. – 520 с.
2. Hansen V.L. Polynomial covering spaces and homomorphisms into braid groups // Pac. J. Math. – 1979. – V. 81, No 2. – P. 399–410. – doi: 10.2140/pjm.1979.81.399.
3. Hansen V.L. Coverings defined by Weierstrass polynomials // J. Reine Angew. Math. – 1980. – V. 314. – P. 29–39. – doi: 10.1515/crll.1980.314.29.
4. Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen Veränderlichen sich beziechende Sätze // Mathematische Werke, Bd. Abhandlungen II. – Berlin: Mayer und Müller, 1895. – S. 135–188.
5. Vietoris L. Über den höheren Zusammenhang kompakter R¨aume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen // Math. Ann. – 1927. – Bd. 97. – S. 454–472. – doi: 10.1007/BF01447877.
6. Van Dantzig D., van der Waerden B.L. Über metrisch homogene Räume // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. – 1928. – Bd. 6. – S. 367–376.
7. Van Dantzig D. Über topologisch homogene Kontinua // Fundam. Math. – 1930. – Bd. 15. – S. 102–125. – doi: 10.4064/fm-15-1-102-125.
8. Van Dantzig D. Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen // Compos. Math. – 1936. – V. 3. – P. 408–426.
9. Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958. – 403 с.
10. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. – М.: Наука, 1975. – 654 с.
11. Kolmogorov A.N. Sur la notion de la moyenne // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. – 1930. – T. 12, F. 9. – P. 388–391.
12. Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986. – 751 с.
13. Хелемский А.Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 288 с.
14. Масси У.С., Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Введение. – М.: Мир, 1977. – 344 с.
15. Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 1. – М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948. – 316 с.
16. Наймарк М.А. Теория представлений групп. – М.: Наука, 1976. – 560 с.
17. Clark A. A generalization of Hagopian's theorem and exponents // Topol. Its Appl. – 2002. – V. 117, No 3. – P. 273–283. – doi: 10.1016/S0166-8641(01)00027-X.
18. Grigorian S.A., Gumerov R.N., Kazantsev A.V. Group structure in finite coverings of compact solenoidal groups // Lobachevskii J. Math. – 2000. – V. 6. – P. 39–46.
19. Grigorian S.A., Gumerov R.N. On a covering group theorem and its applications // Lobachevskii J. Math. – 2002. – V. 10. – P. 9–16.
20. Grigorian S.A., Gumerov R.N. On the structure of finite coverings of compact connected groups: arXiv:math/0403329. – 2004. – 17 p.
21. Grigorian S.A., Gumerov R.N. On the structure of finite coverings of compact connected groups // Topol. Its Appl. – 2006. – V. 153, No 18. – P. 3598–3614. – doi: 10.1016/j.topol.2006.03.010.
22. Eda K., Matijevi´c V. Finite-sheeted covering maps over 2 -dimensional connected, compact Abelian groups // Topol. Its Appl. – 2006. – V. 153, No 7. – P. 1033–1045. – doi: 10.1016/j.topol.2005.02.005.
23. Alexandroff P. Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension // Ann. Math. – 1929. – V. 30, No 1/4. – P. 101–187. – doi: 10.2307/1968272.
24. Александров П.С. Несколько моментов в развитии Московской школы общей топологии за последние полвека // Усп. матем. наук. – 1980. – Т. 35, № 4. – С. 217–221.
25. Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. – М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1950. – 222 с.
26. Hofmann K.H., Morris S.A. The Structure of Compact Groups: A Primer for the Student – A Handbook for the Expert. – Berlin: Wal­ter de Gruyter, 2006. – xvii, 858 p. (de Gruyter Stud. Math., 25)
27. Spanier E.H. Algebraic Topology. – N. Y.: McGraw-Hill, 1966. – XIV, 528 p.
28. Гумеров Р.Н. О накрывающих группах // Изв. вузов. Матем. – 2020. – № 3. – C. 85– 91. – doi: 10.26907/0021-3446-2020-3-85-91.
29. Mardešić S., Matijević V. Classifying overlay structures of topological spaces // Topol. Its Appl. – 2001. – V. 113, No 1–3. – P. 167–209. – doi: 10.1016/s0166-8641(00)00012-2.
30. Taylor R.L. Covering groups of non-connected topological groups // Proc. Am. Math. Soc. – 1954. – V. 5, No 5. – P. 753–768. – doi: 10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0.
31. Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. – 1994. – V. 115, No 1. – P. 97–110. – doi: 10.1017/S0305004100071942.
32. Eda K., Matijević V. Covering maps over solenoids which are not covering homomorphisms // Fundam. Math. – 2013. – V. 221, No 1 – P. 69–82. – doi: 10.4064/fm221-1-3.
33. 33. Fox R.H. On shape // Fundam. Math. – 1972. – V. 74. – P. 47–71. – doi: 10.4064/fm-74-1-47-71.
34. Fox R.H. Shape theory and covering spaces // Dickman R.F., Fletcher P. (Eds.) Topology Conference. Lecture Notes in Mathematics, V. 375. – Berlin; Heidelberg: Springer, 1974. – P. 71–90. – doi: 10.1007/BFb0064013.
35. Moore T.T. On Fox's theory of overlays // Fundam. Math. – 1978. – V. 99. – P. 205–211. – doi: 10.4064/fm-99-3-205-211.
36. Matijević V. Classifying finite-sheeted coverings of paracompact spaces // Rev. Mat. Comput. – 2003. – V. 16, No 1. – P. 311–327. – doi: 10.5209/rev_REMA.2003.v16.n1.16883.
37. Brazas J. Semicoverings, coverings, overlays and open subgroups of the quasitopological fundamental group // Topol. Proc. – 2014. – V. 44. – P. 285–313.
38. Dydak J. Overlays and group actions // Topol. Its Appl. – 2016. – V. 207. – P. 22–32. – doi: 10.1016/j.topol.2016.03.031.
39. Eda K., Matijević V. Existence and uniqueness of group structures on covering spaces over groups // Fundam. Math. – 2017. – V. 238. – P. 241–267. – doi: 10.4064/fm990-10-2016.
40. Гумеров Р.Н. Групповые структуры и их приложения в анализе и топологической алгебре: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Казань, 2020. – 214 c.
41. Deckard D., Pearcy C. On matrices over the ring of continuous functions on a Stonian space // Proc. Am. Math. Soc. – 1963. – V. 14. – P. 322–328. – doi: 10.1090/S0002-9939-1963-0147926-1.
42. Deckard D., Pearcy C. On algebraic closure in function algebras // Proc. Am. Math. Soc. – 1964. – V. 15. – P. 259–263. – doi: 10.1090/S0002-9939-1964-0161171-6.
43. Countryman R.S. Jr. On the characterization of compact Hausdorff X for which C(X) is algebraically closed // Pac. J. Math. – 1967. – V. 20, No 3. – P. 433–448. – doi: 10.2140/pjm.1967.20.433.
44. Горин Е.А., Лин В.Я Алгебраические уравнения с непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос // Матем. сб. – 1969. – Т. 78, № 4. – С. 579–610.
45. Жиков В.В. К проблеме существования почти периодических решений дифференциальных и операторных уравнений // Труды ВЕЛИ. – Владимир, 1969. – Т. 8. – С. 94–188.
46. Walther A. Algebraische Funktionen von fastperiodischen Funktionen // Monatsh. Math. Phys. – 1933. – Bd. 40. – S. 444–457. – doi: 10.1007/BF01708882.
47. Bohr H., Flanders D.A. Algebraic equations with almost-periodic coefficients // Det Kgl. Danske Videnskabernes Selskab. Mathematisk-fysiske Meddelelser. – København: Levin & Munksgaard, 1937. – V. 15. – P. 1–49.
48. Bohr H., Flanders D.A. Algebraic functions of analytic almost periodic functions // Duke Math. J. – 1938. – V. 4, No 4. – P. 779–787. – doi: 10.1215/S0012-7094-38-00468-5.
49. Лин В.Я. Косы Артина и связанные с ними группы и пространства // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом. – М.: ВИНИТИ, 1979. – Т. 17. – С. 159–227.
50. Hatori O., Miura T. On a characterization of the maximal ideal spaces of commutative C∗-algebras in which every element is the square of another // Proc. Am. Math. Soc. – 2000. – V. 128, No 4. – P. 1185–1189. – doi: 10.1090/S0002-9939-99-05454-4.
51. Miura T., Niijima K. On a characterization of the maximal ideal spaces of algebraically closed commutative C^∗-algebras // Proc. Am. Math. Soc. – 2003. – V. 131, No 9. – P. 2869–2876. – doi: 10.1090/S0002-9939-02-06835-1.
52. Kawamura K., Miura T. On the existence of continious (approximate) roots of algebraic equations // Topol. Its Appl. – 2007. – V. 154, No 2. – P. 434–442. – doi: 10.1016/j.topol.2006.05.008.
53. Honma D., Miura T. On characterization of compact Hausdorff space X for which certain algebraic equation is solvable in C(X) // Tokyo J. Math. – 2007. – V. 30, No 2. – P. 403–416. – doi: 10.3836/tjm/1202136685.
54. Kawamura K., Miura T. On the root closedness of continuous function algebras // Topol. Its Appl. – 2009. – V. 156, No 3. – P. 624–628. – doi: 10.1016/j.topol.2008.08.015.
55. Kawamura K. Higher dimensional compacta with algebraically closed function algebras // Tokyo J. Math. – 2009. – V. 32, No 2. – P. 441–445. – doi: 10.3836/tjm/1264170242.
56. Hansen V.L. Embedding finite covering spaces into trivial bundles // Math. Ann. – 1978. – V. 236. – P. 239–243. – doi: 10.1007/BF01351369.
57. Hansen V.L. Braids and Coverings: Selected Topics. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 202 p. (London Math. Soc. Stud. Texts, V. 18)
58. Hansen V.L. Weierstrass polynomials for links // Beitr. Algebra Geometrie. – 1998. – V. 39, No 2. – P. 359–365.
59. Бардаков В.Г., Веснин А.Ю. Многочлены Вейерштрасса сингулярных кос и зацеплений // Чебышевский сб. – 2005. – Т. 6, № 2. – С. 36–51.
60. Møller J.M. On polynomial coverings and their classification // Math. Scand. – 1980. – V. 47, No 1. – P. 116–122.

Показать весь список литературы (всего ссылок: 99) 

Гумеров Ренат Нельсонович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа

Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: Renat.Gumerov@kpfu.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.