А.И. Репина
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2021.1.5-20
Для цитирования : Репина А.И. Сходимость метода Галеркина решения нели\ нейной задачи о собственных модах микродисковых лазеров // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2021. – Т. 163, кн. 1. – С. 5–20. – doi: 10.26907/2541-7746.2021.1.5-20.
For citation : Repina A.I. Convergence of the Galerkin method for solving a nonlinear problem of the eigenmodes of microdisk lasers. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 163, no. 1, pp. 5–20. doi: 10.26907/2541-7746.2021.1.5-20. (In Russian)
Аннотация
В работе рассмотрен метод численного решения задачи на собственные значения для уравнения Гельмгольца на плоскости, моделирующей лазерное излучение двумерных микродисковых резонаторов. Метод Галеркина применен к нелинейной задаче на собственные значения для голоморфной фредгольмовой оператор-функции, к которой сводится исходная краевая задача. Доказательство сходимости метода и оценки точности аппроксимации собственных значений основаны на общих результатах теории голоморфных оператор-функций и теории приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра.
Ключевые слова: микродисковый лазер, нелинейная задача на собственные значения, система граничных интегральные уравнений Мюллера, метод Галеркина
Благодарности. Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета.
Литература
- Du W., Li C., Sun J., Xu H., Yu P., Ren A., Wu J., Wang Z. Nanolasers based on 2D materials // Laser Photonics Rev. – 2020. – V. 14, No 12. – Art. 2000271, P. 1–16. – doi: 10.1002/lpor.202070066.
- Nosich A.I., Smotrova E.I., Boriskina S.V., Benson T.M., Sewell P. Trends in microdisk laser research and linear optical modelling // Opt. Quantum Electron. – 2007. – V. 39, No 15. – P. 1253–1272. – doi: 10.1007/s11082-008-9203-z.
- Boriskina S.V., Sewell P., Benson T.M., Nosich A.I. Accurate simulation of two-dimensional optical microcavities with uniquely solvable boundary integral equations and trigonometric Galerkin discretization // J. Opt. Soc. Am. A. – 2004. – V. 21, No 3. – P. 393–402. – doi: 10.1364/josaa.21.000393.
- Smotrova E.I., Nosich A.I. Mathematical study of the two-dimensional lasing problem for the whispering-gallery modes in a circular dielectric microcavity // Opt. Quantum Electron. – 2004. – V. 36, No 3. – P. 213–221. – doi: 10.1023/B:OQEL.0000015641.19947.9c.
- Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Benson T.M., Nosich A.I. Why elliptic microcavity lasers emit light on bow-tie-like modes instead of whispering-gallery-like modes // Opt. Commun. – 2019. – V. 439. – P. 112–117. – doi: 10.1016/j.optcom.2019.01.056.
- Zolotukhina A.S., Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Lasing modes of a microdisk with a ring gain area and of an active microring // Opt. Quantum Electron. – 2015. – V. 47, No 12. – P. 3883–3891. – doi: 10.1007/s11082-015-0240-0.
- Zolotukhina A.S., Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Electromagnetic analysis of optimal pumping of a microdisk laser with a ring electrode // Appl. Phys. B: Lasers Opt. – 2017. – V. 123, No 1. – Art. 32, P. 1–6. – doi: 10.1007/s00340-016-6625-3.
- Spiridonov A.O., Karchevskii E.M. Mathematical and numerical analysis of the spectral characteristics of dielectric microcavities with active regions // Proc. Int. Conf. Days in Diffraction (DD-2016). – IEEE, 2016. – P. 390–395. – doi: 10.1109/DD.2016.7756880.
- Smotrova E.I., Tsvirkun V., Gozhyk I., Lafargue C., Ulysse C., Lebental M., Nosich A.I. Spectra, thresholds, and modal fields of a kite-shaped microcavity laser // J. Opt. Soc. Am. B. – 2013. – V. 30, No 6. – P. 1732–1742. – doi: 10.1364/JOSAB.30.001732.
- Mu¨ller C. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves. – Berlin; Heidelberg: Springer, 1969. – 356 p.
- Spiridonov A.O., Oktyabrskaya A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Mathematical and numerical analysis of the generalized complex-frequency eigenvalue problem for two-dimensional optical microcavities // SIAM J. Appl. Math. – 2020. – V. 80, No 4. – P. 1977– 1998. – doi: 10.1137/19M1261882.
- Kozlov V., Maz’ya V. Differential Equations with Operator Coefficients with Applications to Boundary Value Problems for Partial Differential Equations. – Heidelberg: Springer, 1999. – 444 p.
- Karma O. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions I // Numer. Funct. Anal. Optim. – 1996. – V. 17, No 3–4. – P. 365–387. – doi: 10.1080/01630569608816699.
- Karma O. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions II (convergence rate) // Numer. Funct. Anal. Optim. – 1996. – V. 17, No 3–4. – P. 389–408. – doi: 10.1080/01630569608816700.
- Oktyabrskaya A.O., Repina A.I., Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Numerical modeling of on-threshold modes of eccentric-ring microcavity lasers using the Muller integral equations and the trigonometric Galerkin method // Opt. Commun. – 2020. – V. 476. – Art. 126311, P. 1–9. – doi: 10.1016/j.optcom.2020.126311.
- Repina A.I., Oktyabrskaya A.O., Ketov I.V., Karchevskii E.M. Laser modes of active eccentric microring cavities // Proc. Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON-2020). – IEEE, 2020. – P. 1–4. – doi: 10.1109/ICTON51198.2020.9203752.
- Repina A.I., Oktyabrskaya A.O. Mathematical modeling of photonic crystal resonators based on the Lasing Eigenvalue Problem // Proc. Int. Conf. on Control Systems, Mathematical Modelling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA-2019). – 2019. – P. 472–477. – doi: 10.1109/SUMMA48161.2019.8947540.
- Repina A.I., Oktyabrskaya A.O., Karchevskii E.M. Unidirectional emission of active eccentric microring cavities // Proc. 2020 IEEE East-West Design & Test Symp. (EWDTS-2020). – 2020. – P. 274–278. – doi: 10.1109/EWDTS50664.2020.9225153.
- Oktyabrskaya A.O., Repina A.I., Karchevskii E.M. Laser modes of active circular microcavity with circular piercing hole // Proc. Int. Conf. on Electronics and Nanotechnology (ELNANO-2020). – 2020. – P. 207–210. – doi: 10.1109/ELNANO50318.2020.9088894.
- Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Mathematical and numerical modeling of on-threshold modes of 2-D microcavity lasers with piercing holes // Axioms. – 2019. – V. 8, No 3. – Art. 101, P. 1–16. – doi: 10.3390/axioms8030101.
- Reichardt H. Ausstrahlungsbedingungen fur die Wellengleihung // Abh. Math. Semin. Hamburg. – 1960. – V. 24. – P. 41–53.
- Kartchevski E.M., Nosich A.I., Hanson G.W. Mathematical analysis of the generalized natural modes of an inhomogeneous optical fiber // SIAM J. Appl. Math. – 2005. – V. 65, No 6. – P. 2033–2048.
- Colton D., Kress R. Integral Equation Methods in Scattering Theory. – Philadelphia, SIAM, 2013. – xvi, 271 p.
- Frolov A., Kartchevskiy E. Integral equation methods in optical waveguide theory // Springer Proc. Math. Stat. – 2013. – V. 52. – P. 119–133.
- Karchevskii E.M. The fundamental wave problem for cylindrical dielectric waveguides // Diff. Equat. – 2000. – V. 36, No 7. – P. 1109–1111. – doi: 10.1007/BF02754515.
- Spiridonov A.O., Karchevskii E.M. Projection methods for computation of spectral characteristics of weakly guiding optical waveguides // Proc. Int. Conf. Days in Diffraction (DD-2013). – 2013. – P. 131–135. – doi: 10.1109/DD.2013.6712817.
- Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Rigorous formulation of the lasing eigenvalue problem as a spectral problem for a Fredholm operator function // Lobachevskii J. Math. – 2018. – V. 39, No 8. – P. 1148–1157. – doi: 10.1134/S1995080218080127.
- Kress R. Linear integral equations // Springer Monographs in Mathematics. V. 82. – N. Y.: Springer, 1999. – XVI, 412 p. – doi: 10.1007/978-1-4614-9593-2.
- Oktyabrskaya A.O., Spiridonov A.O., Karchevskii E.M. Muller boundary integral equations for solving generalized complex-frequency eigenvalue problem // Lobachevskii J. Math. – 2020. – V. 41, No 7. – P. 1377–1384. – doi: 10.1134/S1995080220070343.
Поступила в редакцию 15.01.2021
Репина Анна Игоревна, аспирант кафедры прикладной математики, ассистент кафедры системного анализа и информационных технологий
Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: airepinas@gmail.com
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.