Асимптотический анализ геометрически нелинейных колебаний длинных пластин

Б. Аффане, А.Г. Егоров

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2020.4.396-410

Для цитирования: Аффанe Б., Егоров А.Г. Асимптотический анализ геометрически нелинейных колебаний длинных пластин // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2020. – Т. 162, кн. 4. – С. 396–410. – doi: 10.26907/2541-7746.2020.4.396-410.

For citation: Affane B., Egorov A.G. Asymptotic analysis of geometrically nonlinear vibrations of long plates. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2020, vol. 162, no. 4, pp. 396–410. doi: 10.26907/2541-7746.2020.4.396-410. (In Russian)

Аннотация

Проведен асимптотический анализ классических уравнений теории пластин с напряжениями Кармана в предположении, что ширина пластины много меньше ее длины. Получена система одномерных уравнений балочного типа, описывающее нелинейное взаимодействие изгибных и крутильных колебаний. Их следствием является возможность возбуждения крутильных колебаний изгибными. Эта возможность проанализирована для модельной задачи, когда изгибные колебания происходят по нормальным модам.

Ключевые слова: асимптотический анализ, изгибные колебания, крутильные колебания, параметрический резонанс, окна резонанса, уравнение Матье

Литература

1. Sader J.E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope // J. Appl. Phys. – 1998. – V. 84, No 1. – P. 64–76.
2. Kimber M., Lonergan R., Garimella S.V. Experimental study of aerodynamic damping in arrays of vibrating cantilevers // J. Fluids Struct. – 2009. – V. 25, No 8. – P. 1334–1347. – doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2009.07.003.
3. Yeh P.D., Alexeev A. Free swimming of an elastic plate plunging at low Reynolds number // Phys. Fluids. – 2014. – V. 26, No 5. – Art. 053604, P. 1–13. – doi: 10.1063/1.4876231.
4. Paimushin V.N., Firsov V.A., Gyunal I., Egorov A.G. Theoretical-experimental method for determining the parameters of damping based on the study of damped flexural vibrations of test specimens. 1. Experimental basis // Mech. Compos. Mater. – 2014. – V. 50, No 2. – P. 127–136. – doi: 10.1007/s11029-014-9400-8.
5. Egorov A.G., Kamalutdinov A.M., Nuriev A.N., Paimushin V.N. Theoretical-experimental method for determining the parameters of damping based on the study of damped flexural vibrations of test specimens 2. Aerodynamic component of damping // Mech. Compos. Mater. – 2014. – V. 50, No 3. – P. 267–278. – doi: 10.1007/s11029-014-9413-3.
6. Egorov A.G., Kamalutdinov A.M., Nuriev A.N. Evaluation of aerodynamic forces acting on oscillating cantilever beams based on the study of the damped flexural vibration of aluminium test samples // J. Sound Vibr. – 2018. – V. 421. – P. 334–347. – doi: 10.1016/j.jsv.2018.02.006.
7. Egorov A.G., Kamalutdinov A.M., Nuriev A.N., Paimushin V.N. Experimental determination of damping of plate vibrations in a viscous fluid // Dokl. Phys. – 2017. – V. 62. – P. 257–261. – doi: 10.1134/S1028335817050068.
8. Kamalutdinov A.M., Paimushin V.N. Refined geometrically nonlinear equations of motion for elongated rod-type plate // Russ. Math. – 2016. – V. 60, No 9. – P. 74–78. – doi: 10.3103/S1066369X16090103.
9. Egorov A.G., Affane B. Instability regions in flexural-torsional vibrations of plates // Lobachevskii J. Math. – 2020. – V. 41, No 7. – P. 1167–1174. – doi: 10.1134/S1995080220070094.
10. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. – М.: Наука, 1983. – 448 с.
11. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. – М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1956. – 419 с.
12. Reddy J.N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis: With Applications to Heat Transfer, Fluid Mechanics, and Solid Mechanics. – Oxford: Oxford Univ. Press, 2014. – 768 p. – doi: 10.1093/acprof:oso/9780199641758.001.0001.
13. Mclachlan N.W. Theory and Application of Mathieu Functions. – N. Y.: Oxford Univ. Press, 1951. – 423 p.
14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. – М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1956 – 600 с.
15. Wolf G. Mathieu functions and Hill’s equation // NIST Handbook of Mathematical Functions / Ed. by F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, Ch.W. Clark. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010. – P. 651–682.
16. Dunne G.V., U¨nsal M. WKB and resurgence in the Mathieu equation // Fauvet F., Manchon D., Marmi S., Sauzin D. (Eds.) Resurgence, Physics and Numbers. – Pisa: Edizioni della Normale, 2017. – P. 249–298. – doi: 10.1007/978-88-7642-613-1_6.

Поступила в редакцию

16.10.2020

Аффане Будхиль, младший научный сотрудник Института геологии и нефтегазовых технологий

Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: boudkhil.affane@gmail.com

Егоров Андрей Геннадьевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры аэрогидромеханики

Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: aegorov0@gmail.com

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.