Построение минимизирующей последовательности для задачи охлаждения заданных участков стержня с фазовым ограничением

А.И. Эгамов

Нижегородский университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, 603950, Россия

Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2020.2.193-210

Для цитирования: Эгамов А.И. Построение минимизирующей последовательности для задачи охлаждения заданных участков стержня с фазовым ограничением // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2020. – Т. 162, кн. 2. – С. 193–210. – doi: 10.26907/2541-7746.2020.2.193-210.

For citation: Egamov A.I. Construction of a minimizing sequence for the problem of cooling of the given segments of the rod with phase constraint. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2020, vol. 162, no. 2, pp. 193–210. doi: 10.26907/2541-7746.2020.2.193-210. (In Russian)

Аннотация

Для процесса управления температурой тонкого стержня поставлена оптимизационная задача охлаждения его заданных участков. Управление охлаждением подобрано так, чтобы на протяжении всего воздействия выполняется некоторое фазовое ограничение. В результате уравнение теплопроводности с управляющим воздействием преобразуется в нелинейное интегро-дифференциальное уравнение. Показана связь полученной нелинейной начально-краевой задачи и стандартной линейной задачи уравнения теплопроводности, которая решается методом Фурье. Все это дает возможность перейти от начальной распределенной задачи к сосредоточенной оптимизационной задаче относительно коэффициентов Фурье решения линейной задачи. Для получившейся счетной системы дифференциальных уравнений показана возможность ее сведения к конечной усеченной системе. Дан алгоритм перебора управляющих коэффициентов усеченной задачи для нахождения оптимальных параметров управления и оптимального значения критерия качества усеченных задач. Доказано, что при этом для исходной оптимизационной задачи получается минимизирующая последовательность управляющих параметров.

Ключевые слова: вторая начально-краевая задача, интегро-дифференциальное уравнение, счетная система дифференциальных уравнений, усеченная система, минимизирующая последовательность

Литература

1. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Введение в теорию управления системами с распределенными параметрами. – СПб.: Лань, 2017. – 292 с.
2. Kuzenkov O.A., Novozhenin A.V. Optimal control of measure dynamics // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. – 2015. – V. 21, No 1–3. – P. 159–171. – doi: 10.1016/j.cnsns.2014.08.024.
3. Вайнберг М.М. Интегро-дифференциальные уравнения // Итоги науки. Сер. Матем. анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1962. – М.: ВИНИТИ, 1964. – С. 5–37.
4. Орлов С.С. Обобщенные решения интегро-дифференциальных уравне-ний высоких порядков в банаховых пространствах – Иркутск: Изд-во ИГУ, 2014. – 150 с.
5. Власов В.В., Медведев Д.А., Раутиан Н.А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и их спектральный анализ // Соврем. проблемы математики и механики. Математика. – 2011. – Т. 8, Вып. 1. – С. 8–306.
6. Кузенков О.А., Эгамов А.И. Теорема существования решения одного класса интегродифференциальных уравнений и ее приложения // Вестн. Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. Сер. Матем. моделирование и оптим. управление. – 1997. – № 1. – С. 47–54.
7. Кузенков О.А. Задача Коши для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. – 2004. – Т. 40, № 1. – С. 24–32.
8. Egamov A.I. The existence and uniqueness theorem for initial-boundary value problem of the same class of integro-differential PDEs // Bychkov I., Kalyagin V., Pardalos P., Prokopyev O. (Eds.) Network Algorithms, Data Mining, and Applications. NET 2018. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, V. 315. – Springer, 2020. – P. 173– 186. – doi: 10.1007/978-3-030-37157-9_12.
9. Бураго П.Н., Эгамов А.И. О связи решений начально-краевых задач для некоторого класса интегро-дифференциальных уравнений с частными производными и линейного гиперболического уравнения // Журн. Средневолжского матем. о-ва. – 2019. – Т. 21, № 4. – С. 413–429. – doi: 10.15507/2079-6900.21.201904.413-429.
10. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами. (обзор) // Автоматика и телемеханика. – 1979. – № 11. – С. 16–65.
11. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. – М.: Изд-во МГУ, 1968. – 143 с.
12. Кузенков О.А., Плотников В.И. Сходимость конечномерных приближений в задаче оптимального управления сильно параболической системой // Конструирование алгоритмов и решениие задач математической физики: Сб. тр. – М.: Изд-во Ин-та прикл. матем. АН СССР, 1989. – С. 232–234.
13. Кузенков О.А., Новоженин А.В. Оптимизация динамики меры. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2013. – 142 с.
14. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. – М.: Наука, 1986. – 416 c.
15. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. – М.: Наука, 1986. – 256 с.
16. Жаутыков О.А. Счетные системы дифференциальных уравнений и их применения // Дифференц. уравнения. – 1965. – Т. 1, № 2. – С. 162–170.
17. Коржавина М.С., Сумин В.И. О первой начально-краевой задаче для полулинейного параболического уравнения с управляемыми старшими коэффициентами // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Междунар. конф. «Воронежская зимняя математическая школа». – Воронеж, 2019. – С. 156–160.
18. Новоженов М.М., Сумин М.И. Оптимальное управление полулинейным параболическим уравнением с поточечным фазовым ограничением // Вестн. Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. Сер. Матем. моделирование и оптим. управление. – 2001. – № 2. – С. 261–269.
19. Тагиев Р.К. Задача оптимального управления для квазилинейного параболического уравнения с управлениями в коэффициентах и с фазовыми ограничениями // Дифференц. уравнения. – 2013. – Т. 49, № 3. – С. 380–392. – doi: 10.1134/S0374064113030138.
20. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит, 2004. – 400 с.
21. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 428 с.
22. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. – М.: ГИФМЛ, 1959. – 620 с.
23. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы Математического анализа. Ч. 2. – М.: Физматлит, 2002. – 464 с.
24. Moler C., Van Loan Ch. Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, twenty-five years later // SIAM Rev. – 2003. – V. 45, No 1. – P. 3–49. – doi: 10.1137/S00361445024180.

Поступила в редакцию 27.11.2019

Эгамов Альберт Исмаилович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений, математического и численного анализа

Нижегородский университет им. Н.И. Лобачевского

пр. Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603950, Россия E-mail: albert810@yandex.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.