Левоинвариантная контактная метрическая структура на многообразии Sol

В.И. Паньженский, А.О. Растрепина

Пензенский государственный университет, г. Пенза, 440026, Россия

Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2020.1.77-90

Для цитирования: Паньженский В.И., Растрепина А.О. Левоинвариантная контактная метрическая структура на многообразии Sol // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2020. – Т. 162, кн. 1. – С. 77–90. – doi: 10.26907/2541-7746.2020.1.77-90.

For citation: Pan’zhenskii V.I., Rastrepina A.O. The left-invariant contact metric struc ture on the Sol manifold. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2020, vol. 162, no. 1, pp. 77–90. doi: 10.26907/2541-7746.2020.1.77-90. (In Russian)

Аннотация

В известном списке восьми трехмерных геометрий Тёрстона находится геометрия многообразия Sol – группы Ли вещественных матриц специального вида. На многообразии Sol имеется левоинвариантная риманова метрика, для которой группа левых сдвигов является максимальной просто-транзитивной группой изометрии. В настоящей работе найдены все левоинвариантные дифференциальные 1-формы и доказано, что на ориентированном многообразии Sol существует единственная левоинвариантная дифференциальная 1-форма, которая вместе с левоинвариантной римановой метрикой определяют на Sol контактную метрическую структуру. Найдены все левоинвариантные контактные метрические связности, среди которых выделены плоские связности. Вполне неголономное контактное распределение вместе с ограничением римановой метрики на это распределение определяют на многообразии Sol субриманову структуру, а ортогональная проекция связности Леви-Чивита является усеченной связностью. Используя неголономное поле ортонормированных реперов, адаптированных к контактной метрической структуре, найдены параметрические уравнения геодезических усеченной связности, то есть уравнения субримановых геодезических. Установлено, что эти геодезические являются частью геодезических плоской контактной метрической связности.

Ключевые слова: многообразие Sol, контактная метрическая структура, контактная метрическая связность, субримановы геодезические

Литература

1. Thurston W.P. The Geometry and Topology of Three-Manifold / Ed. by S. Levy. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1997. – 328 p.
2. Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях / Под ред. В.И. Арнольда. – М.: Мир, 1986. – 164 с.
3. Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure, I // Tohoku Math. J. (2). – 1960. - V. 12, No 3. – P. 459–476. – doi: 10.2748/tmj/1178244407.
4. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry. – Berlin; N. Y.: Springer, 1976. – 148 p. – doi: 10.1007/BFb0079307.
5. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. – Одесса: Печатный Дом, 2013. – 458 с.
6. Паньженский В.И., Климова Т.Р. Контактная метрическая связность на группе Гейзенберга // Изв. вузов. Матем. – 2018. – № 11. – С. 51–59.
7. Agrachev A., Barilari D., Boscain U. Introduction to Riemannian and Sub-Riemannian Geometry. – Trieste, Italy: SISSA, 2012. – 179 p.
8. Аграчев А.А. Некоторые вопросы субримановой геометрии // Усп. матем. наук. – 2016. – T. 71, № 6. – С. 989–1019. – doi: 10.4213/rm9744.
9. Вершик А.М., Фадеев Л.Д. Лагранжева механика в инвариантном изложении // Проблемы теоретической физики: Сб. ст. / Под ред. М.Г. Веселова и др. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1975. – C. 129–141.
10. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. – М.: ВИНИТИ, 1987. – T. 16 – C. 5–85.
11. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. – М.: Изд-во иностар. лит., 1957. – 152 с.
12. Норден А.П. Пространства аффинной связности. – М.: Наука, 1976. – 432 с.
13. Гордеева И.А., Паньженский В.И., Степанов С.Е. Многообразия Римана – Картана // Итоги науки и техники. Совр. матем. и ее прилож. – М.: ВИНИТИ, 2009. – Т. 123. – C. 110–141.
14. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом / Пер. с нем. Ю.Д. Бураго; под ред. и с доб. В.А. Топоногова. – М.: Мир, 1971. – 343 с.

Поступила в редакцию 30.10.2019

Паньженский Владимир Иванович, кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математическое образование»

Пензенский государственный университет ул. Красная, 40, г. Пенза, 440026, Россия

E-mail: kaf-geom@yandex.ru

Растрепина Анастасия Олеговна, студент факультета физико-математических и естественных наук

Пензенский государственный университет ул. Красная, 40, г. Пенза, 440026, Россия

E-mail: n.rastrepina@mail.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.