Асимптотические свойства задачи о собственных колебаниях стержня с присоединённым грузом

А.А. Самсонов¹ , С.И. Соловьёв¹ , Д.М. Коростелева²

¹Казанский ( Приволжский ) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

²Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, 420066, Россия

Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2020.1.52-65

Для цитирования: Самсонов А.А., Соловьёв С.И., Коростелева Д.М. Асимптотические свойства задачи о собственных колебаниях стержня с присоединённым грузом // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2020. – Т. 162, кн. 1. – С. 52–65. – doi: 10.26907/2541-7746.2020.1.52-65.

For citation: Samsonov A.A., Solov’ev S.I., Korosteleva D.M. Asymptotic properties of / the problem on eigenvibrations of the bar with attached load. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2020, vol. 162, no. 1, pp. 52–65. doi: 10.26907/2541-7746.2020.1.52-65. (In Russian)

Аннотация

Исследуется обыкновенная дифференциальная задача на собственные значения второго порядка, описывающая собственные колебания упругого стержня с присоединённым к торцу грузом. Задача имеет возрастающую последовательность положительных простых собственных значений с предельной точкой на бесконечности. Последовательности собственных значений соответствует полная ортонормированная система собственных функций. В статье изучается поведение решений в зависимости от величины массы присоединённого груза. Точнее, формулируются вспомогательные предельные дифференциальные задачи на собственные значения и доказывается сходимость собственных значений и собственных функций исходной задачи к соответствующим собственным значениям и собственным функциям предельных задач при увеличении массы груза до бесконечности. Исходная дифференциальная задача на собственные значения аппроксимируется сеточной схемой метода конечных элементов на равномерной сетке. Устанавливаются оценки погрешности приближённых собственных значений и собственных функций в зависимости от шага сетки. Исследования статьи могут быть обобщены для случаев более сложных и важных прикладных задач расчёта собственных колебаний балок, пластин и оболочек с присоединёнными грузами.

Ключевые слова: собственное колебание стержня, собственное значение, собственная функция, задача на собственные значения, сеточная аппроксимация, метод конечных элементов

Благодарности. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-31-90063.

Литература

1. Babuˇska I., Osborn J.E. Eigenvalue problem // Handbook of Numerical Analysis. V. II: Finite element methods / Ed. by P.G. Ciarlet, J.L. Lions. – Amsterdam: North-Holland, 1991. – P. 642–787.
2. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1983. – 424 с.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 736 с.
4. Solov’ev S.I. Eigenvibrations of a bar with elastically attached load // Differ. Equations. – 2017. – V. 53, No 3. – P. 409–423. – doi: 10.1134/S0012266117030119.
5. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами. – М.: Машиностроение, 1988. – 200 с.

Поступила в редакцию 14.09.2019

Самсонов Антон Андреевич, аспирант кафедры вычислительной математики Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: anton.samsonov.kpfu@mail.ru

Соловьёв Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: sergei.solovyev@kpfu.ru

Коростелева Диана Маратовна, преподаватель кафедры «Информатика и информационно-управляющие системы»

Казанский государственный энергетический университет ул. Красносельская, д. 51, г. Казань, 420066, Россия

E-mail: diana.korosteleva.kpfu@mail.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.