О разрешимости одного вариационного неравенства теории фильтрации

М.Ф. Павлова, Е.В. Рунг

Казанский ( Приволжский ) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2019.4.552-568

Для цитирования : Павлова М.Ф., Рунг Е.В. О разрешимости одного вариационного неравенства теории фильтрации // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 4. – С. 552–568. – doi: 10.26907/2541-7746.2019.4.552-568.

For citation : Pavlova M.F., Rung E.V. On the solvability of a variational inequality in the filtration theory. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, vol. 161, no. 4, pp. 552–568. doi: 10.26907/2541-7746.2019.4.552-568. (In Russian)

Аннотация

В работе доказывается обобщенная разрешимость задачи, описывающей процесс нестационарной насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в пористой среде с условием односторонней проницаемости на части границы. Следует отметить, что возникающее при этом вариационное неравенство является вариационным неравенством переменного типа: в зоне насыщенной фильтрации – эллиптического и параболического – в противном случае. При обобщенной формулировке рассматриваемой задачи используется ставший уже классическим переход с помощью преобразования Кирхгофа к эквивалентной, более удобной для исследования, вариационной задаче. Кроме того, рассматривается наиболее интересный с точки зрения приложений случай, когда преобразование Кирхгофа отображает вещественную ось в ограниченную снизу полуось [−γ, +∞). При этом полагается, что значение преобразования Кирхгофа в точке −γ равно нулю. Наряду с исходной задачей с ограничением u(x, t) ≥ −γ , рассматривается так называемая «доопределенная» задача без ограничений, при формулировке которой функция, порождаемая преобразованием Кирхгофа, продолжается нулем на (−∞, −γ). Приводятся определения обобщенных решений этих задач в виде вариационных неравенств. Доказательство теоремы существования обобщенного решения «доопределенной» задачи проводится с помощью методов полудискретизации, метода Галеркина и штрафа. В заключение доказывается, что решение «доопределенной» задачи является решением исходной.

Ключевые слова: фильтрация, вариационное неравенство, преобразование Кирхгофа, метод полудискретизации со штрафом, метод Галеркина

Литература

1. Pavlova M.F, Rung E.V. On the existence of a generalized solution of the saturatedunsaturated filtration problem // Differ. Equations. – 2018. – V. 54, No 3. – P. 352–362. – doi: 10.1134/S0012266118030072.
2. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы. – М.: Мир, 1964. – 352 с.
3. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. – 1983. – V. 183, No 8. – P. 311–341. – doi: 10.1007/BF01176474.
4. Morel-Seytoux H.J., Meyer P.D., Nachabe M., Touma J., van Genuchten M.T., Lenhard R.J. Parameter equivalence for the Brooks–Corey and van Genuchten soil characteristics: Preserving the effective capillary drive // Water Resour. Res. – 1996.– V. 32, No 58. – P. 1251–1258. – doi: 10.1029/96WR00069.
5. Pop I.S., Yong W.-A. A numerical approach to degenerate parabolic equations // Numer. Math. – 2002. – V. 92. – P. 357–381. – doi: 10.1007/s002110100330.
6. Diersch H.-J.G., Perrochet P. On the primary variable switching technique for simulating unsaturated-saturated flows // Adv. Water Resour. – 1999. – V. 23, No 3. – P. 271–301. – doi: 10.1016/S0309-1708(98)00057-8.
7. Radu F., Pop I.S., Knabner P. order of convergence estimates in time and space for an implicit Euler, mixed finite element discretization of Richard’s equation by equivalence of mixed and conformal approach // Proc. Conf. Algoritmy 2002 / Eds. A. Handlovicova, Z. Kriva, K. Mikula, D. Sevcovic. – 2002. – P. 58–65.
8. Ахтареев А.А., Даутов Р.З. Метод смешанной переменной для моделирования насыщенно-ненасыщенных течений // Учен. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2007. – Т. 149, кн. 4. – С. 58–72.
9. Williams G.A., Miller C.T., Kelley C.T. Transformation approaches for simulating flow in variably saturated porous media // Water Res. Resear. – 2000. – V. 36, No 4. – P. 923–934. – doi: 10.1029/1999WR900349.
10. Berninger H. Domain decomposition methods for elliptic problems with jumping nonlinearities and application to the Richards equation: Dissertation. – Berlin: Freie Univ., 2008. – 272 S. – doi: 10.17169/refubium-16502.
11. Otto F. L1 -contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equations // J. Differ. Equations. – 1996. – V. 131, No 1. – P. 20–38. – doi: 10.1006/jdeq.1996.0155.
12. Otto F. L1 -contraction and uniqueness for unstationary saturated-unsaturated porous media flow // Adv. Math. Sci. Appl. – 1997. – V. 7, No 2. – P. 537–553.
13. Van Duyn C.J., Peletier L.A. Nonstationary filtration in partially saturated porous media // Arch. Ration. Mech. Anal. – 1982. – V. 78, No 2. – P. 173–198. – doi: 10.1007/BF00250838.
14. Alt H.W., Luckhaus S., Visintin A. On nonstationary flow through porous media // Ann. Mat. Pura ed Appl. – 1984. – V. 136. – P. 303–316. – doi: 10.1007/BF01773387.
15. Павлова М.Ф., Шемуранова Е.В. О существовании слабого решения одной задачи ненасыщенной фильтрационной консолидации // Изв. вузов. Матем. – 2001. – № 10. – С. 58–68.
16. Павлова М.Ф. Исследование корректности задачи фильтрационной консолидации // Дифференц. уравнения. – 1998. – Т. 34, № 7. – С. 965–974.
17. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 с.
18. Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Уравнения математической физики. Дополнительные главы. – СПб.: Лань, 2016. – 276 с.
19. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. – М.: Наука, 1989. – 464 с.
20. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1978. – 336 c.

Поступила в редакцию 20.08.19

Павлова Мария Филипповна, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: M.F.Pavlova@mail.ru

Рунг Елена Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: HelenRung@mail.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.