Аналог формулы Коши для некоторых уравнений Бельтрами

Д.Б. Кац, Б.А. Кац

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2019.4.536-542

Для цитирования : Кац Д.Б., Кац Б.А. Аналог формулы Коши для некоторых уравнений Бельтрами // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 4. – С. 536–542. – doi: 10.26907/2541-7746.2019.4.536-542.

For citation : Katz D.B., Kats В.A. An analog of the Cauchy formula for certain Beltrami equations. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, vol. 161, no. 4, pp. 536–542. doi: 10.26907/2541-7746.2019.4.536-542. (In Russian)

Аннотация

Дифференциальные уравнения Бельтрами представляют собою одно из наиболее естественных обобщений уравнений Коши – Римана комплексного анализа. Соответственно, их решения являются близким обобщением голоморфных функций. Решение многих задач комплексного анализа основано на использовании интегральной формулы Коши, то есть интегрального представления аналитических функций контурными интегралами по границе области голоморфности. В частности, на этом представлении основано решение краевой задачи Римана для голоморфных функций, доказательство теоремы Пенлеве об устранении особенностей аналитических функций и многие другие результаты. А.Б. Тунгатаров получил аналог такого представления решений для одного простого частного случая уравнения Бельтрами (так называемых бета-аналитических функций). Представление Тунгатарова было затем использовано Р. Абреу-Блайя, Х. Бори-Рейес и Д. Пенья-Пенья для решения задач Римана, Пенлеве и др. для этих функций. В настоящей работе строятся такие интегральные представления для решений более обширных классов уравнений Бельтрами, во многих отношениях аналогичные интегральной формуле Коши для аналитических функций, и даются их приложения в задачах указанных выше типов.

Ключевые слова: уравнение Бельтрами, формула Коши, интегральное представление

Благодарности. Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2020-1478).

Литература

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
2. Bojarski B. Old and new on Beltrami equation // Mshimba A.S.A., Tutschke W. (Eds.) Functional Analytic Methods in Complex Analysis and Applications to Partial Differential Equations: Proc. ICTP, Trieste, Italy, Feb., 8–19, 1988. – London: World Sci., 1988. – P. 173–188.
3. Iwaniec T., Martin G. What’s new for the Beltrami equation? // Proc. Cent. Math. Appl. – Canberra: Austr. Natl. Univ., 2001. – V. 39. – P. 132–148.
4. Кац Д.Б., Кац Б.А. Интегральные представления решений некоторых уравнений Бельтрами // Изв. вузов. Матем. – 2018. – № 3. – С. 23–28.
5. Тунгатаров А.Б. О свойствах одного интегрального оператора в классах суммируемых функций // Изв. АН Каз. ССР. Сер. физ.-матем. – 1985. – № 5. – С. 58–62.
6. Рainlеv´e P. Sur les lignes singulieres des fonctions analytiques // Annales de la Facult´e des sciences de Toulouse: Math´ematiques – 1888. – T. 2. – P. B1–B130.
7. Маркушевич А.И. Избранные главы теории аналитических функций. – М.: Наука, 1976. – 192 с.
8. Abreu-Blaya R., Bory-Reyes J., Peña-Peña D. On the jump problem for β-analytic functions // Complex Var. Elliptic Equations. – 2006. – V. 51, No 8–11. – P. 763–775. – doi: 10.1080/17476930600667486.

Поступила в редакцию 26.08.19

Кац Давид Борисович, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математического анализа

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: katsdavid89@gmail.com

Кац Борис Александрович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: katsboris877@gmail.com

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.