Интерполяция на сетке Бахвалова при наличии экспоненциального пограничного слоя

И.А. Блатов¹ , Н.А. Задорин²

¹Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, 443010, Россия

²Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 630090, Россия

Полный текст PDF
DOI: 10.26907/25417746.2019.4.497-508

Для цитирования : Блатов И.А., Задорин Н.А. Интерполяция на сетке Бахвалова при наличии экспоненциального пограничного слоя // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 4. – С. 497–508. – doi: 10.26907/25417746.2019.4.497-508.

For citation : Blatov I.A., Zadorin N.A. Interpolation on the Bakhvalov mesh in the presence of an exponential boundary layer. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, vol. 161, no. 4, pp. 497–508. doi: 10.26907/25417746.2019.4.497-508. (In Russian)

Аннотация

Исследован вопрос интерполяции функции одной переменной с большими градиентами в экспоненциальном пограничном слое. Интерполируемая функция соответствует решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром ε при старшей производной. Проблема состоит в том, что применение к такой функции полиномиальных интерполяционных формул в случае равномерной сетки может приводить к неприемлемым погрешностям. Оценена погрешность формулы линейной интерполяции на сетке Бахвалова, сгущающейся в пограничном слое. Получена оценка погрешности второго порядка точности по числу узлов сетки, равномерная по параметру ε. Исследована классическая разностная формула для вычисления производной, использующая значение функции в двух узлах сетки Бахвалова. Получена оценка относительной погрешности, равномерная по параметру ε. Представлены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: функция одной переменной, пограничный слой, сетка Бахвалова, кусочно-линейная интерполяция, численное дифференцирование, ε -равномерная оценка погрешности

Благодарности. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-31-60009.

Литература

1. Linß T. Layer-Adapted Meshes for Reaction-Convection-Diffusion Problems. – Berlin: Springer, 2010. – 233 p.
2. Задорин А.И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем // Сиб. журн. вычисл. матем. – 2007. – Т. 10, № 3. – С. 267–275.
3. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1969. – Т. 9, № 4. – С. 841–859.
4. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. – Екатеринбург: УрО РАН, 1992. – 233 с.
5. Задорин А.И. Интерполяция Лагранжа и формулы Ньютона – Котеса для функций с погранслойной составляющей на кусочно-равномерных сетках // Сиб. журн. вычисл. матем. – 2015. – Т. 18, № 3. – С. 289-303. – doi: 10.15372/SJNM20150304.
6. Задорин А.И. Анализ формул численного дифференцирования на сетке Шишкина при наличии пограничного слоя // Сиб. журн. вычисл. матем. – 2018. – Т. 21, № 3. – С. 243–254. – doi: 10.15372/SJNM20180301.
7. Linß T. The necessity of Shishkin decompositions // Appl. Math. Lett. – 2001. – V. 14, No 7. – P. 891–896. – doi: 10.1016/S0893-9659(01)00061-1.
8. Задорин А.И., Задорин Н.А. Сплайн-интерполяция на равномерной сетке функции с погранслойной составляющей // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 2010. – Т. 50, № 2. – С. 221–233.
9. Zadorin A.I., Zadorin N.A. Interpolation formula for functions with a boundary layer component and its application to derivatives calculation // Sib. Electron. Math. Rep. – 2012. – V. 9. – P. 445–455.
10. Блатов И.А., Задорин Н.А. Анализ интерполяционной формулы, точной на погранслойной составляющей интерполируемой функции // Наука и мир. – 2015. – Т. 1, № 2. – С. 13–17.

Поступила в редакцию 26.09.19

Блатов Игорь Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

ул. Льва Толстого, д. 23, г. Самара, 443010, Россия

E-mail: blatow@mail.ru

Задорин Никита Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

пр. Академика Коптюга, д. 4, г. Новосибирск, 630090, Россия

E-mail: nik-zadorin@yandex.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.