Псевдогруппы голономии как препятствия к эквивалентности многообразий над алгеброй дуальных чисел

А.А. Малюгина, В.В. Шурыгин
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2019.3.438-455

Для цитирования: Малюгина А.А., Шурыгин В.В. Псевдогруппы голономии как препятствия к эквивалентности многообразий над алгеброй дуальных чисел // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 3. – С. 438–455. – doi: 10.26907/2541-7746.2019.3.438-455.

For citation: Malyugina A.A., Shurygin V.V. Holonomy pseudogroups as obstructions to equivalence of manifolds over the algebra of dual numbers. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, vol. 161, no. 3, pp. 438–455. doi: 10.26907/2541-7746.2019.3.438-455. (In Russian)

Аннотация

Гладкое многообразие над алгеброй дуальных чисел D (D-гладкое многообразие) несет на себе каноническое слоение, на слоях которого индуцируется структура аффинных многообразий. Распространение карт на D-гладком многообразии вдоль слоевых путей позволяет ассоциировать с погруженной трансверсалью канонического слоения псевдогруппу локальных D-гладких диффеоморфизмов, называемую псевдогруппой голономии.

 В настоящей работе псевдогруппы голономии применены к исследованию строения D-диффеоморфизмов между фактормногообразиями алгебры D по решеткам. В частности, показано, что для существования D-диффеоморфизма между такими многообразиями решетки должны получаться одна из другой умножением на дуальное число. Кроме того, установлено, что естественно ассоциированные с аффинным многообразием D-гладкие многообразия D-диффеоморфны тогда и только тогда, когда это многообразие радиантно.

Ключевые слова: аффинное многообразие, многообразие над алгеброй дуальных чисел, слоение, слоеное расслоение, касательное расслоение, касательное многообразие, тор над алгеброй дуальных чисел, расслоение Вейля

Литература

1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ). – М.: ВИНИТИ, 1979. – Т. 9. – С. 5–247.

2. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1984. – 264 с.

3. Малахальцев М.А. Аналог когомологий Дольбо для многообразий над алгеброй дуальных чисел // Изв. вузов. Матем. – 1990. – № 11. – С. 82–84.

4. Малахальцев М.А. Об одном классе многообразий над алгеброй дуальных чисел // Труды геом. семинара. – Казань, 1991. – Т. 21. – С. 70–79.

5. Thompson G., Schwardmann U. Almost tangent and cotangent structures in the large // Trans. Am. Math. Soc. – 1991. – V. 327, No 1. – P. 313–328.

6. Малахальцев М.А. Структуры многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе // Труды геом. семинара. – Казань, 1994. – Т. 22. – С. 47–62.

7. Vaisman I. Lagrange geometry on tangent manifolds // Int. J. Math. Math. Sci. – 2003. – No 51. – P. 3241–3266. – doi: 10.1155/S0161171203303059.

8. Malyugina A.A, Shurygin V.V. Complexes of differential forms associated with a normalized manifold over the algebra of dual numbers // Lobachevskii J. Math. – 2016. – V. 37, No 1. – P. 66–74. – doi: 10.1134/S1995080216010066.

9. Шурыгин В.В. О строении полных многообразий над алгебрами Вейля // Изв. вузов. Матем. – 2003. – № 11. – С. 88–97.

10. Малюгина А.А, Шурыгин В.В. Представления голономии одного класса многообразий над алгеброй дуальных чисел // Изв. Пенз. гос. пед. ун-та. – 2011. – № 26. – С. 128–136.

11. Малюгина А.А, Шурыгин В.В. Псевдогруппа голономии многообразия над алгеброй дуальных чисел и некоторые ее применения // Изв. вузов. Матем. – 2019. – № 2. – С. 82–88.

12. Molino P. Riemannian Foliations. – Boston: Birkhuser, 1988. – 339 p.

13. Shurygin V.V. Structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras // Lobachevskii J. Math. – 1999. – V. 5. – P. 29–55.

14. Тёрстон У. Трехмерная геометрия и топология. – М.: МЦНМО, 2001. – 312 с.

15. Shurygin V.V. Smooth manifolds over local algebras and Weil bundles // J. Math. Sci. – 2002. – V. 108, No 2. – P. 249–294. – doi: 10.1023/A:1012848404391.

16. Phillips J. The holonomic imperative and the homotopy groupoid of a foliated manifold // Rocky Mt. J. Math. – 1987. – V. 17, No 1. – P. 151–165. – doi: 10.1216/RMJ-1987-17-1-151.

17. Pogoda Z. Horizontal lifts and foliations // Rend. Circ. Mat. Palermo. Ser. II. – 1989. – V. 38, Suppl. 21. – P. 279–289.

18. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. – М.: Мир, 1983. – 302 с.

19. Diamond F., Shurman J. A first course in modular forms. – N. Y.: Springer, 2005. – 436 p.

20. Шурыгин В.В. Препятствия к радиантности для гладких многообразий над алгебрами Вейля // Изв. вузов. Матем. – 2005. – № 5. – С. 71–83.

21. Goldman W., Hirsch M.W. The radiance obstruction and parallel forms on affine manifolds // Trans. Am. Math. Soc. – 1984. – V. 26, No 2. – P. 629–649.

Поступила в редакцию

08.05.19

Малюгина Александра Александровна, ассистент кафедры геометрии

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail:  alexandra.malyugina@gmail.com

Шурыгин Вадим Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры геометрии

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail:  Vadim.Shurygin@kpfu.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.