Сеточный метод решения квазилинейных эллиптических уравнений четвертого порядка

М.М. Карчевский
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2019.3.405-422

Для цитирования: Карчевский М.М. Сеточный метод решения квазилинейных эллиптических уравнений четвертого порядка // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.- матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 3. – С. 405–422. – doi: 10.26907/2541-7746.2019.3.405-422.

For citation: Karchevsky M.M. A mesh method for solving fourth-order quasilinear elliptic equations. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, vol. 161, no. 3, pp. 405–422. doi: 10.26907/2541-7746.2019.3.405-422. (In Russian)
 

Аннотация

Предлагается и исследуется смешанный метод конечных элементов решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения четвертого порядка дивергентного вида. Предполагается, что область, в которой решается задача, ограничена и имеет размерность, большую или равную двум. При построении конечноэлементной схемы в качестве вспомогательных переменных выбираются все вторые производные искомого решения. При этом используется обычная триангуляция области лагранжевыми симплициальными (треугольными) элементами порядка не ниже двух. Доказывается существование приближенного решения при любом значении параметра дискретизации, если оператор исходной задачи удовлетворяет обычным условиям ограниченной нелинейности и коэрцитивности. Единственность приближенного решения устанавливается при более жестких ограничениях липшиц-непрерывности и сильной монотонности дифференциального оператора. При этих же условиях конструируется двуслойный итерационный процесс с оценкой скорости сходимости, не зависящей от параметра дискретизации. Получены оценки точности приближенного решения, которые в случае линейности дифференциального уравнения оказываются оптимальными. Приводятся результаты применения предлагаемой методики к решению задачи о равновесии тонкой упругой пластины.

Ключевые слова: смешанный метод конечных элементов, оценки точности, итерационный метод, оценки скорости сходимости, теория пластин

Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 18-41-160014, 19-08-01184).

Литература

1. Михлин С.Г.  Численная реализация вариационных вариационных методов. – М.: Наука, 1966. – 432 с.

2. Соболев С.Л.  Введение в теорию кубатурных формул. – М.: Наука, 1974. – 808 с.

3. Sobolev S.L., Vaskevich V.L.  The Theory of Cubature Formulas. – Springer, 1997. – 415 p.

4. Михайлов В.П.  О существовании граничных значений у метагармонических функций // Матем. сб. – 1999. – Т. 190, № 7. – С. 17–48.

5. Ciarlet P.G.  Mathematical Elasticity. V. II: Theory of Plates. – Amsterdam: North-Holland, 1997. – 497 p.

6. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С.  Теория пластин и оболочек М.: ЛИБРОКОМ, 2009. – 625 с.

7. Хаппель Дж., Бреннер Г.  Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. – М.: Мир, 1976. – 630 с.

8. Ворович И.И.  Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. – М.: Наука, 1989. – 376 с.

9. Ciarlet P.G.  Mathematical Elasticity. V. III: Theory of Shells. – Amsterdam: North-Holland, 2000. – 599 p.

10. Сьярле Ф.  Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.: Мир, 1980. – 512 с.

11. Астраханцев Г.П.  Об одном способе приближенного решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения // Журн. вычисл, матем. и матем. физики. – 1977. – Т. 17, № 4. – С. 980–998.

12. Кобельков Г.М.  Итерационные процессы для некоторых классов разностных схем // Численные методы механики сплошных среды. – 1981. – Т. 12, № 6. – С. 38–48.

13. Кобельков Г.М.  О сведении краевой задачи для бигармонического уравнения к задаче типа Стокса // Докл. АН СССР. – 1985. – Т. 283, № 3. – С. 539–541.

14. Кобельков Г.М.  О сведении краевой задачи для бигармонического уравнения к задаче с оператором типа Стокса // Изв. вузов. Матем. – 1985. – № 10. – С. 39–46.

15. Карчевский М.М.  О некоторых методах решения первой краевой задачи для разностного бигармонического уравнения // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1983. – Т. 23, № 5. – С. 1088–1097.

16. Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Попов М.И.  Численное интегрирование бигармонического уравнения в квадратной области // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. – 2013. – Вып. 1. – С. 52–62.

17. Астраханцев Г.П.  О смешанном методе конечных элементов в задачах теории оболочек // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1989. – Т. 29, № 10. – С. 1492–1504.

18. Дубинский Ю.А.  Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Усп. матем. наук. – 1968. – Т. 23, Вып. 1. – С. 45–90.

19. Вайнберг М.М.  Вариационный метод и метод монотонных операторов. – М.: Наука, 1972. – 416 с.

20. Bernardi C.  Optimal finite-element interpolation on curved domains // SIAM J. Numer. Anal. – 1989. – V. 26, No 5. – P. 1212–1240.

21. Zlamal M.  Curved elements in the finite element method. I // SIAM J. Numer. Anal. – 1973. – V. 10, No 1. – P. 229–240.

22. Корнеев В.Г.  Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. – 206 с.

23. Даутов Р.З., Карчевский М.М.  Введение в теорию метода конечных элементов. – Казань: Казан. ун-т, 2011. – 238 с.

24. Вайнберг М.М.  Вариационные методы исследования нелинейных операторов. – М: Гостехиздат, 1956. – 344 с.

25. Карчевский М.М., Павлова М.Ф.  Уравнения математической физики. Дополнительные главы. – СПб.: Лань, 2016. – 276 с.

26. Самарский А.А., Николаев Е.С.  Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1977. – 592 с.

27. Карчевский М.М.  Смешанный метод конечных элементов для нелинейных задач теории пластин // Изв. вузов. Матем. – 1992. – № 7. – С. 18–23.

28. Aubin J.P.  Behavior of the error of the approximate solutions of boundary value problems for the linear elliptic operators by the Galerkin's and finite difference methods // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. – 1967. – V. 21. – P.  599–637.

29. Стренг Г., Фикс Дж.  Теория метода конечных элементов. – М.: Мир, 1977. – 349 с.

30. Bahriawati C., Carstensen C.  Three Matlab implementations of the lowest-order Raviart–Thomas Mfem with a posteriori error control // Comput. Methods Appl. Math. – 2005. – V. 5, No 4. – P. 333–361.

31. Даутов Р.З.  Программная реализация метода конечных элементов в MATLAB. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. – 108 с.

32. Деммель Дж.  Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. – М.: Мир, 2001. – 430 с.

Поступила в редакцию

03.06.19

Карчевский Михаил Миронович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail:  Mikhail.Karchevsky@kpfu.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.