Рассуждения о неевклидовой геометрии
- Когда говорят обо мне как об ученом, то чаще всего имеют в виду одно — дерзновение моё коснуться того основания геометрии, которое две тысячи лет принималось без доказательства. С юных лет, при изучении геометрии Евклида, ум мой поражала та незыблемость, с коей принимался постулат о параллельных линиях, хотя доказательство сие ниоткуда не проистекало. Я и сам, как многие, испытал тот соблазн, коей побуждает искать доказательства там, где, кажется, оно должно быть близко и легко; но чем прямее казался путь, тем яснее обнаруживалось, что разум наш, покуда он держится одних привычных представлений, ходит по кругу.
История сей трудности известна: пытались вывести постулат из теоремы о сумме углов треугольника; трудился над сим почти полвека Лежандр; приближался к сомнению Саккери, но не решился отступить от наследия веков. И когда в конце прошлого столетия Гаусс поставил себе вопрос: что произойдет, если допустить иное, — вопрос сей показал мне, что в науке иногда надобно не доказывать невозможное, но испытать возможность иного пути.
Я не утверждал и не утверждаю, будто мысль сия родилась вне общего движения умов. Напротив, в Казани многое было приготовлено чтением, беседами и влиянием учителей. Но дело состоит не в первенстве намека, а в том, чтобы довести мысль до строгого построения. Лучший способ математики — без сомнения аналитической, и он требует, чтобы всякое положение было сведено к ясному ряду следствий, где нет места скрытому допущению.
Итак, исходя из известных начал о прямой и плоскости, я допустил как гипотезу, что сумма углов треугольника может быть менее двух прямых, и посмотрел, разрушит ли это саму возможность геометрии. Оказалось — нет: из сего допущения рождается стройное учение со своими законами меры, с понятием о линиях и фигурах, и с удивительным свойством, что для расстояний, доступных нашему опыту, оно приводит почти к тем же следствиям, как и геометрия употребительная. Отсюда следует важное: геометрия Евклида не опровергается, но входит как частный, особенный случай в более общее разумение возможных отношений.
Понеже многие привыкли смешивать доказательство с опытом, я искал в опыте не доказательства, а проверки. Наибольшие доступные расстояния дают астрономические наблюдения; и в пределах коих результаты согласны с евклидовым предположением. Посему наукам, основанным на измерении, не угрожает никое разрушение от того, что постулат не выводится логически: истина для человеческих чувств сохраняется. И всё же ум естественно воспрашивает: что там, за пределами доступного? где расстояния, кои мы называем бесконечными, — имеют ли те же свойства? Отсюда и начинается область, которую можно мыслить, хотя представить её чувственно мы не в силах.
Некоторые усматривают в сем лишь умозрительную игру. Однако цель моя была иная: показать, что наши аксиомы не суть единственно возможные, что геометрия, как наука о пространстве, не исчерпывается системою Евклида. Сие есть не отрицание старой истины, но обобщение ее, подобно тому как алгебра обнимает частные случаи арифметики. Пространство, в коем мы живем, может подчиняться иным законам в иных пределах; наша же геометрия есть лишь частный и приближенный случай общей истины.
Труды мои встретили здесь более недоумения, нежели сочувствия. Но я утешаюсь мыслию, что самая строгость и последовательность выводов, коих я держался, со временем найдут свою оценку. Ибо наука движется не одним утверждением известного, но и смелым испытанием границ познанного. В сем испытании – залог ее бесконечного совершенствования.
