Обобщенная линейная модель динамики тонких упругих оболочек
Е.Ю. Михайлова1, Д.В. Тарлаковский1,2, Г.В. Федотенков1,2
1Московский авиационный институт национальный исследовательский университет, г. Москва, 125993, Россия
2НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва, 119192, Россия
Аннотация
Предложена обобщенная линейная модель динамики тонкой упругой оболочки постоянной толщины, учитывающая поворот и обжатие нормального к срединной поверхности оболочке волокна. Используется система координат, включающая криволинейные координаты срединной поверхности и отсчитываемая от срединной поверхности в направлении внешней нормали расстояние (нормальная координата). Найдены связи пространственных метрики и ковариантных производных с аналогичными параметрами срединной поверхности.
Поле перемещений оболочки и все характеристики рассматриваются в линейном приближении по нормальной координате. Показано, что перемещения любой точки оболочки определяются тангенциальными и нормальными перемещениями срединной поверхности, двумя углами поворота нормального волокна и его деформацией, а деформированное состояние оболочки задается тензорами тангенциальной деформации и изменения кривизны и деформацией нормального волокна. С помощью линеаризации уравнений совместности деформаций для сплошной среды получены три аналогичных уравнения для тонкой оболочки. Для их построения использовано квадратичное приближение перемещений.
Получены формулы для потенциальной и кинетической энергии, а также для работы внешних сил. Показано, что учет поворота нормального волокна и обжатия приводит к появлению дополнительных внутренних силовых факторов – дополнительного момента и нормальной силы. При этом к стандартным внешним силовым факторам добавлены распределенные моменты. Физический закон построен для анизотропного материала, обладающего симметрией относительно срединной поверхности без принятия обычно используемой статической гипотезы о ненадавливаемости волокон.
Уравнения движения построены с помощью принципа Гамильтона и состоят из шести тензорных соотношений. Из этого принципа выведены и естественные граничные условия. Показано, из построенной модели как частные случаи вытекают модели Кирхгофа – Лява и типа Тимошенко.
Ключевые слова: упругая оболочка, поворот и обжатие нормального волокна, анизотропия, уравнения движения, совместность деформаций
Благодарности. Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда в рамках научного проекта № 14-49-00091.
Литература
1. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники, Сер. Механика деформируемых твердых тел. – М.: ВИНИТИ, 1973. – Т. 5. – 273 с.
2. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. – Л.: Политехника, 1991. – 656 c.
3. Товстик П.Е. Неклассические модели балок, пластин и оболочек // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2008. – Т. 8. Вып. 3. – С. 72–85.
4. Starovoitov E.I., Kubenko V.D., Tarlakovskii D.V. Vibrations of circular sandwich plates connected with an elastic foundation // Russ. Aeronaut. – 1990 – V. 52, No 2. – P. 151–157. – doi: 10.3103/s1068799809020044.
5. Starovoitov E.I., Leonenko D.V., Tarlakovsky D.V. Resonance Vibrations of a Circular Composite Plates on an Elastic Foundation // Mech. Compos. Mater. – 2015 – V. 51, No 5. – P. 561–570. – doi: 10.1007/s11029-018-9740-x.
6. Paimushin V.N., Gazizullin R.K., Fedotenkov G.V. Acoustic impact on the laminated plates placed between barriers // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. – 2016. – V. 158, No 1. – Art. 012075. – doi: 10.1088/1757-899X/158/1/012075.
7. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Two-dimensional nonstationary contact of elastic cylindrical or spherical shells // J. Mach. Manuf. Reliab. – 2014. – V. 43, No 2. – P. 145–152. – doi: 10.3103/S1052618814010178.
8. Mikhailova E.Yu., Fedotenkov G.V. Nonstationary axisymmetric problem of the impact of a spherical shell on an elastic half-space (initial stage of interaction) // Mech. Solids. – 2011. – V. 46, No 2. – P. 239–247. – doi: 10.3103/S0025654411020129.
9. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Nonstationary 3D motion of an elastic spherical shell // Mech. Solids. – 2015. – V. 50, No 2. – P. 208–2017. – doi: 10.3103/S0025654415020107.
10. Miller R.E., Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements // Nanotechnology. – 2000. – No 11. – P. 139–147. – doi: 10.1088/0957-4484/11/3/301.
11. Reissner E. On the form of variationally derived shell equations // J. Appl. Mech. – 1964. – V. 31, No 2. – P. 233–328.
12. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.: Наука, 1974. – 448 с.
13. Амбарцумян С.А. К расчету двухслойных ортотропных оболочек. // Изв. АН СССР. ОТН. – 1957. – № 7. – C. 57–64.
14. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. – Киев: Наукова думка, 1973. – 248 с.
15. Pietraszkiewicz W. The resultant linear six-field theory of elastic shells: What it brings to the classical linear shell models // ZAMM. – 2016. – V. 96, No 8. – P. 899–915. – doi: 10.1002/zamm.201500184.
16. Pietraszkiewicz W., Valle'e C. A method of shell theory in determination of the surface from components of its two fundamental forms // ZAMM. – 2007. – V. 87, No 8-9. – P. 603–615. – doi: 10.1002/zamm.200710340.
17. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. – 280 с.
18. Палий О.М., Спиро В.Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Теория и расчет. – Л.: Судостроение, 1977. – 386 c.
19. Галимов К.З., Паймушин В.Н., Терегулов И.Г. Основания нелинейной теории оболочек. – Казань: Фэн, 1996. – 215 с.
20. Паймушин В.Н. Вариант нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Прикл. механика. – 1986. – Т. 22, № 8. – С. 50–57.
21. Paimushin V.N. A study of elasticity and plasticity equations under arbitrary displacements and strains // Mech. Solids. – 2011. – V. 46, No 2. – P. 213–224. – doi: 10.3103/S0025654411020099.
22. Paimushin V.N. Relationships of the Timoshenko-type theory of thin shells with arbitrary displacements and strains // J. Appl. Mech. Techn. Phys. – 2014. – V. 55, No 5. – P. 843–856. – doi: 10.1134/S0021894414050149.
23. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. – Л.: Судпромгиз, 1952. – 431 c.
24. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. – М.: Наука, 2000. – 214 с.
25. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. – 384 с.
26. Амензаде Ю.А. Теория упругости. – М.: Высш. шк., 1976. – 272 с.
27. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. – М.: Физматлит, 2004. – 472 c.
28. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. литер., 1961. – 228 с.
Поступила в редакцию
09.02.18
Михайлова Елена Юрьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия
E-mail: mihe16@yandex.ru
Тарлаковский Дмитрий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией динамических испытаний; заведующий кафедрой «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Мичуринский проспект, д. 1, г. Москва, 119192, Россия
E-mail: tdvhome@mail.ru
Федотенков Григорий Валерьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»; старший научный сотрудник лаборатории динамических испытаний
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Мичуринский проспект, д. 1, г. Москва, 119192, Россия
E-mail: greghome@mail.ru
Для цитирования: Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Обобщенная линейная модель динамики тонких упругих оболочек // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2018. – Т. 160, кн. 3. – С. 561–577.
For citation: Mihajlova E.Yu., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. A generalized linear model of dynamics of thin elastic shells. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 160, no. 3, pp. 561–577. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.
