Нестационарное осесимметричное движение упругого моментного полупространства под действием нестационарных нормальных поверхностных перемещений
Чан Ле Тхай 1, Тарлаковский Д.В. 1,2
1 Московский авиационный институт национальный исследовательский университет, г. Москва, 125993, Россия
2 НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва, 119192, Россия
Аннотация
Рассматривается упругое однородное изотропное полупространство, заполненное средой Коссера. Деформированное состояние характеризуется независимыми векторами перемещения и поворота. В начальный момент времени и на бесконечности возмущения отсутствуют. На границе полупространства заданы нормальные перемещения. Все компоненты напряженно-деформированного состояния полагаются ограниченными. Используется цилиндрическая система координат с осью, направленной вглубь полупространства. С учетом осевой симметрии разрешающая система уравнений включает в себя три гиперболических уравнений относительно скалярного потенциала и ненулевых компонент векторного потенциала и вектора поворота. Компоненты векторов перемещений, угла поворота, тензоров напряжений и моментов напряжений связаны с потенциалы известными соотношениями.
Решение задачи ищется в виде обобщенных сверток заданного перемещения с соответствующими поверхностными функциями влияния. Для построения последних применяются преобразования Ханкеля по радиусу и Лапласа по времени. Все изображения представляются в виде трех слагаемых. Первые из них соответствуют волне растяжения-сжатия, а два других определяются связанными между собой волнами сдвига и вращения. Оригиналы первых составляющих находятся точно с помощью последовательного обращения преобразований. Для остальных же слагаемых используется разложение в степенные ряды по малому параметру, характеризующему связь волн сдвига и вращения. Найдены изображения первых двух коэффициентов этих рядов. Соответствующие оригиналы определяются последовательным обращением преобразований.
Приведены примеры расчетов регулярных составляющих функций влияния зернистого композита из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице.
Ключевые слова: среда Коссера, поверхностные функции влияния, метод малого параметра, интегральные преобразования Лапласа и Ханкеля, связь плоской и осесимметричной задач
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-08-00787).
Литература
1. Badriev I.B, Banderov V.V., Makarov M.V. Mathematical simulation of the problem of the pre-critical sandwich plate bending in geometrically nonlinear one dimensional formulation // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. – 2017. – V. 208, No 1. – Art. 012002, P. 1–7. – doi: iopscience.iop.org/1757-899X/208/1/012002.
2. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Контактная постановка задач механики подкрепленных на контуре трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем // Изв. вузов. Матем. – 2017. – № 1. – С. 77–85.
3. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Численное исследование физически нелинейной задачи о продольном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2017. – № 1. – С. 39–51.
4. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Longitudinal and transverse bending by a cylindrical shape of the sandwich plate stiffened in the end sections by rigid bodies // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. – 2016. – V. 158, No 1. – Art. 012011, P. 1–9. – doi: iopscience.iop.org/10.1088/1757-899X/158/1/012011.
5. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Numerical investigation of physically nonlinear problem of sandwich plate bending // Proc. Eng. – 2016. – V. 150. – P. 1050–1055. – doi: 10.1016/j.proeng.2016.07.213.
6. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Mathematical simulation of nonlinear problem of three-point composite sample bending test // Proc. Eng. – 2016. – V. 150. – P. 1056–1062. – doi: 10.1016/j.proeng.2016.07.214.
7. Badriev I.B., Garipova G.Z., Makarov M.V., Paymushin V.N. Numerical solution of the issue about geometrically nonlinear behavior of sandwich plate with transversal soft filler // Res. J. Appl. Sci. – 2015, – V. 10, No 8. – P. 428–435. – doi: 10.3923/rjasci.2015.428.435.
8. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. – Paris: Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909. – 226 p.
9. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. – 1960. – T. 2, № 7. – С. 1399–1409.
10. Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.
11. Birsan M. Several results in the dynamic theory of thermoelastic Cosserat shells with voids // Mech. Res. Commun. – 2006. – V. 33, No 2. – P. 157–176. – doi: 10.1016/j.mechrescom.2005.08.008.
12. Birsan M. Thermal stresses in cylindrical Cosserat elastic shells // Eur. J. Mech., A: Solids. – 2009. – V. 28, No 1. – P. 94–101. – doi: 10.1016/j.euromechsol.2008.03.001.
13. Kumar R., Gupta R.R. Propagation of waves in transversely isotropic micropolar generalized thermoelastic half space // Int. Commun. Heat Mass Transfer. – 2010. – V. 37, No 10. – P. 1452–1458. – doi: 10.1016/j.icheatmasstransfer.2010.08.001.
14. Nistor I. Generalized theory of Cosserat thermoelastic media // Bull. Inst. Polytech. Jassy. – 1991. – V. 37, No 1. – P. 89–96.
15. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. О свойствах поверхностных волн в упругой среде Коссера // Математическое моделирование систем и процессов: Сб. науч. тр. – Пермь: ПГТУ, 2006. – Вып. 14. – С. 109–113.
16. Суворов Е.М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Плоская задача об ударе твердого тела по полупространству, моделируемому средой Коссера // Прикл. матем. и механика. – 2012. – T. 76, Вып. 5.– С. 850–859.
17. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2011. – T. 17, № 2. – С. 184–195.
18. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Электронный журнал <<Труды МАИ>>. – 2012. – № 53. – URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=29267/.
19. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. – 2013. – T. 5, № 1. – С. 119–125.
20. Ван Дер Поль Б., Бреммер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. – М.: Иностр. лит., 1952. – 506 с.
21. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 472 с.
22. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лаплас и Z-преобразования. – М.: Наука, 1971. – 288 с.
23. Сагомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. – 416 с.
24. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. – Л.: Судостроение, 1980. – 344 с.
25. Снеддон И. Преобразования Фурье. – М.: Иностр. лит.,, 1955. – 688 с.
26. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. – 328 с.
Поступила в редакцию
28.02.17
Чан Ле Тхай, аспирант кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия
E-mail: tranlethaivvk@gmail.com
Тарлаковский Дмитрий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией динамических испытаний; заведующий кафедрой «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Мичуринский проспект, д. 1, г. Москва, 119192, Россия
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия
E-mail: tdvhome@mail.ru
Для цитирования: Чан Ле Тхай, Тарлаковский Д.В. Нестационарное осесимметричное движение упругого моментного полупространства под действием нестационарных нормальных поверхностных перемещений // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 2. – С. 231–245.
For citation: Tran Le Thai, Tarlakovskii D.V. Nonstationary axisymmetric motion of an elastic momentum semi-space under non-stationary normal surface movements. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 2, pp. 231–245. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.
