Модифицированная постановка задачи о стационарном пальце в лотке Хеле-Шоу
М.М. Алимов
Казанский Приволжский федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Классическая постановка задачи о продвижении стационарного пальца в щелевом лотке, учитывающая действие капиллярных сил на межфазной поверхности, характеризуется сингулярностью решения в бесконечно удаленной точке, в которой лежит основание пальца. Наличие такой сингулярности затрудняет численный анализ задачи настолько, что ее корректного численного решения до сих пор не получено, хотя задача поставлена около 60 лет назад. В настоящей работе предложена новая модифицированная постановка задачи, основанная на постулате о конечности расстояния, на котором полностью формируется палец. На примере идеализированного случая пренебрежимо малых капиллярных сил показано, что в пределе, когда указанное расстояние в модифицированной задаче стремится к бесконечности, ее решение стремится к классическому решению задачи. Основным достоинством новой постановки является исключение из анализа порождающей сингулярности бесконечно удаленной точки. Это делает модифицированную постановку задачи перспективной с точки зрения ее обобщения на случай действия капиллярных сил и возможности ее корректного численного анализа.
Ключевые слова: течение Хеле-Шоу, задачи со свободной границей, точное решение, принцип минимальной скорости диссипации энергии
Благодарности. Работа выполнена за счет средств субсидии, выделенной в рамках государственной поддержки Казанского (Приволжского) федерального университета в целях повышения его конкурентоспособности среди ведущих мировых научно-образовательных центров.
Литература
1. Saffman P.G., Taylor G.I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. R. Soc. London, Ser. A. – 1958. – V. 245, No 1242. – P. 312–329.
2. McLean J.W., Saffman P.G. The effect of surface tension on the shape of fingers in a Hele-Shaw cell // J. Fluid Mech. – 1981. – V. 102. – P. 455–469.
3. Окендон Дж.Р., Ховисон С.Д. П.Я.Кочина и Хеле-Шоу в современной математике, естественных науках и технике // Прикл. матем. и механика. – 2002. – Т. 66, Вып. 3. – С. 515–524.
4. Chapman S.J. On the role of Stokes line in the selection of Saffman–Taylor finger with small surface tension // Eur. J. Appl. Math. – 1999. – V. 10. – P. 513–534.
5. Shraiman B. Velocity selection and the Saffman–Taylor problem // Phys. Rev. Lett. – 1986. – V. 56. – P. 2028–2031.
6. Tanweer S. Analytic theory for the selection of a symmetric Saffman – Taylor finger in a Hele-Shaw cell // Phys. Fluids. – 1987. – V. 30, No 6. – P. 1589–1605.
7. Combescot R., Hakim V., Dombre T., Pomeau Y., Pumir A. Analytic theory of the Saffman–Taylor fingers // Phys. Rev. A. – 1988. – V. 37, No 4. – P. 1270–1283.
8. Tanveer S. Viscous displacement in a Hele-Shaw cell / Ed. by H. Segur et al. – N. Y.: Plenum Press, 1991. – P. 131–153.
9. Tanweer S. The effect of surface tension on the shape of a Hele-Shaw cell bubble // Phys. Fluids. – 1986. – V. 29, No 11. – P. 3537–3548.
10. Алимов М.М. Численный анализ ветвлений решения задачи Хеле-Шоу о стационарно движущемся пузыре // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2012. – Т. 154, кн. 1. – С. 99–113.
11. Ламб Г. Гидродинамика. – М.; Л.: Гостехиздат, 1947. – 928 с.
12. Vasconcelos G.L. Exact solutions for N steady fingers in a Hele-Shaw cell // Phys. Rev. E. – 1998. – V. 58, No 5. – P. 6858–6860.
13. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. – М.: Наука, 1979. – 536 с.
14. Алимов М.М. О стационарных решениях задачи Хеле-Шоу // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2005. – Т. 147, кн. 3. – С. 33–48.
15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 736 с.
16. Алимов М.М. Принцип минимальной скорости диссипации энергии в стационарных течениях Хеле-Шоу // Изв. РАН. МЖГ. – 2013. – № 4. – С. 104–116.
Поступила в редакцию
15.02.18
Алимов Марс Мясумович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории «Математическое моделирование неравновесных процессов в нефтегазодобыче» Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: Mars.Alimov@kpfu.ru
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.
