Мировую известность Казанскому университету принесла не только геометрическая, но и Казанская алгебраическая школа, основателем которой был выдающийся ученый, член-корреспондент АН СССР Н.Г. Чеботарев. Родился 3(15) июня 1894 г., в городе Каменец-Подольск Подольской губернии (ныне — Каменец-Подольский Хмельницкой области Украины) в семье судебного работника. Определил математику своей будущей профессией довольно рано, еще в период обучения в младших классах гимназии г. Каменец-Подольск. Окончив всего лишь 5-й класс, Н.Г. Чеботарев самостоятельно доказал малую теорему Ферма. До окончания гимназии проштудировал учебник аналитической геометрии (для кадетских корпусов) и 1-ю часть учебника «Элементы высшей математики» Лоренца и «одолел» (по его собственному выражению) статью Н.И. Лобачевского «О началах геометрии», под влиянием которой написал свою первую работу по геометрии «Формула геометрии Лобачевского» (опубликовал в 1929 году). Гимназические годы Н.Г. Чеботарева были омрачены частыми периодами болезни, но это не помешало ему в 1912 году успешно выдержать выпускной экзамен в одной из гимназий Киева, куда его отец был переведен на службу, и поступить в местный университет. К этому времени вполне твердо решил сделаться математиком.
Н.Г. Чеботарев окончил Университет Святого Владимира в Киеве в 1916 г. Ученик Д.А. Граве, который оставил его при университете для приготовления к профессорскому званию.
В 1915–1918 гг. Н.Г. Чеботарев жил в г. Саратов, куда университет из Киева был эвакуирован в связи с Первой мировой войной. Там и окончил университет.
В 1918 г. возвратился вместе с университетом в Киев. Преподавал в средних школах, готовился к магистерскому экзамену и занимался научной работой.
В 1921 г. Н.Г. Чеботарев переехал в Одессу, где в это время жили его родители, нуждавшиеся в материальной поддержке сына. Прельщала также перспектива печатания в журналах, которые там издавались. Однако надежды поступить в Одессе на службу и зарабатывать частными уроками оправдались в весьма малой степени. Пришлось довольствоваться академическим пайком, который ему выхлопотали одесские математики, и временными заработками. Только в 1924 году Н.Г. Чеботарев нашел постоянное место работы — был приглашен секретарем Научно-исследовательской кафедры при Одесском институте народного образования. В течение всего этого периода жизни интенсивно занимался научными исследованиями, принимал активное участие в формировании Одесского государственного университета на базе Новороссийского университета.
В 1927 году Николай Григорьевич был приглашен в Казань на должность профессора кафедры математики. После разделения кафедры на три: матанализа, геометрии и алгебры - Чеботарев заведует последней. Стремясь к расширению в Казани исследовательской работы, он совместно с Н.Н. Парфентьевым, Н.Г. Четаевым и П.А. Широковым добивается создания при университете Научно-исследовательского института математики и механики (1934 г.) и с 1935 года возглавляет его, оставаясь бессменным директором до конца своей жизни. Впоследствии институту было присвоено его имя.
В 1941–1943 гг. Н.Г. Чеботарев работал в МИАН (в составе коллектива МИАН, эвакуированного в Казань на период Великой Отечественной войны).
Исследования Н.Г. Чеботарева относятся к алгебре, теории чисел и теории функций, вариационному исчислению, геометрии.
В 1924 году Николай Григорьевич решил так называемую проблему Фробениуса, получив таким образом наиболее глубокое обобщение теоремы Дирихле о простых числах и арифметической прогрессии. Это обобщение имело важное значение для последующего развития теории алгебраических чисел.
В Казани особенно многосторонне и плодотворно развивалась деятельность Николая Григорьевича. Он достиг блестящих успехов в исследованиях, посвященных теории Галуа, теории групп Ли, проблеме продолжаемости полиномов и проблеме резольвент.
Н.Г. Чеботарев занимался обоснованием теории 
Галуа, которая в понимании Н.Г. Чеботарева является теорией алгебраических расширений произвольных полей главным образом поля рациональных чисел, а также поля алгебраических функций. Используя результаты теории Галуа, доказал гипотезу Клаузена об условиях возможности построения квадрируемых луночек. Его идеи оказали большое влияние на развитие алгебры в стране.
Получил существенные результаты в задаче о расположении нулей многочленов и целых функций.
Н.Г. Чеботарев написал всемирно известные монографии:
В числе его трудов работа
Опубликовал ряд обзорных статей в журнале «Успехи математических наук».
Автор сочинения, содержащего наряду с обобщениями современной ему (период до 1927 г.) математики немало автобиографических данных — Математическая автобиография // УМН, 1948, т. 3, вып. 4.
Собрание сочинений: В 3-х т. — М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1949–1950.
С 1943 г. до конца жизни Н.Г. Чеботарев — президент Казанского физико-математического общества.
Лауреат Государственной премии СССР (1948, посмертно). Удостоен государственных наград.
Крупный ученый, Н.Г. Чеботарев был вместе с тем исключительно прост, скромен и общителен. "Во времена студенчества, - вспоминал профессор В.В. Морозов, - мне трудно было представить, что с Николаем Григорьевичем можно разговаривать иначе, чем как с товарищем несколько более старшим, с которым можно и поговорить по душам, а в случае и поспорить. Ведь Николай Григорьевич не признавал "чинов и орденов", человек был для него прежде всего человеком, и он беседовал, как равный, и с академиком, и со студентом, и с садовником Лядского сада, куда он водил на прогулку своего сына Гришу".
Выдающийся ученый, замечательный педагог и лектор, обаятельный человек, он привлекал к себе молодежь. Многие его ученики стали известными учеными; наиболее значительных успехов достигли И.Д. Адо, В.В. Морозов, Н.Н. Мейман. Так Игорь Дмитриевич Адо доказал теорему о том, что каждая алгебра Ли обладает точным линейным представлением в конечномерном пространстве. Этот результат под названием теоремы Адо вошел во все учебники мира.
Судьба определила Николаю Григорьевичу Чеботареву весьма непродолжительный срок жизни. Но более половины ее он посвятил неустанным научным исследованиям, сочетая их с преподавательской деятельностью. Внес значительный вклад в алгебру, теорию чисел и теорию функций.
В 1947 г. учреждена премия им. Н.Г. Чеботарева АН СССР (РАН с 1991 г.), присуждаемая один раз в три года за лучшую работу по математике. В 1947 г. его имя присвоено НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева при Казанском государственном университете.
Николай Григорьевич Чеботарев скончался 2 июля 1947 года в г. Москва.