Неевклидова геометрия и ее применение в ИТ

200 лет назад в 1826 году, профессор Императорского Казанского университета Николай Лобачевский представил свой доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Это стало отправной точкой для развития неевклидовой геометрии. Его открытие изменило представление о пространстве, а сейчас применяется во множестве областей, включая физику, математический анализ, машинное обучение и др.

Новая теория Лобачевского отрицала пятый постулат Евклида, утверждающий, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Вместо него Лобачевский ввел другую аксиому о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих её. Следствием данного изменения стали оригинальные результаты, которые и для нашего времени кажутся невероятными. В частности, пространство имеет кривизну, подобия треугольников не существует, а для площади треугольника в заданном пространстве существует максимально возможное значение.

«Лобачевский был первопроходцем. На основе его работ другие математики разработали собственные версии неевклидовой геометрии. Например, Риман описал пространство с положительной кривизной. «Воображаемая» геометрия, как ее сам называл Лобачевский, вдохновила и представителей других наук искать новые оригинальные аксиоматические подходы.» - отметил директор ИТИС Михаил Абрамский. 

Через некоторое время в рамках теории относительности Эйнштейна было показано, что геометрия Вселенной является неевклидовой. Таким образом в настоящее время многие физики-космологи, специалисты в области теоретической физики в космическом пространстве, являются специалистами и в области неевклидовой геометрии.

Геометрия Лобачевского появилась в непростое для Российской империи время и первоначально вызвала противоречивые отзывы, считаясь слишком революционной. Признание пришло только через десятилетия. В чем же сейчас мы можем увидеть ее применение?

«Геометрию Лобачевского мы напрямую, конечно, не увидим. До сих пор мы в практике, школе, дизайне, строительстве мы пользуемся евклидовой геометрией. Но для разных сложных математических задач, там, где возникает искривленное пространство, неевклидову геометрию можно конструктивно применять. Так она используется для моделирования сложных систем в гиперболическом пространстве (т.е. пространстве отрицательной кривизны). Есть научные работы, обосновывающие эффективность сведения задач из теории графов к задачам в гиперболическом пространстве.» - рассуждает Михаил Абрамский. 

А что касается информационных технологий, то здесь неевклидова геометрия используется для моделирования искривленных пространств, визуализации данных и др.

«К примеру, подходы гиперболической геометрии используются в машинном обучении. Для различных задач разработаны гиперболические эмбеддинги, гиперболические нейронные сети и другие модели, основывающиеся на неевклидовой геометрии.» - объяснил Михаил Абрамский.

Во всем этом можно увидеть воплощение теории великого учёного, чьими трудами пользуются и студенты ИТИС. Можно сказать, что они являются потомственными учениками Николая Лобачевского. Ведь, если проследить путь от нынешних преподавателей наших студентов по алгебре, математическому анализу, геометрии, да и информатики в Казанском университете, к их наставникам и далее, то мы придем к поколению учеников Николая Лобачевского.