Исследование погрешности конечно-элементной аппроксимации нелинейной задачи Штурма – Лиувилля
Самсонов А.А., Соловьёв П.С., Соловьёв С.И.
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Изучается положительно определенная дифференциальная задача на собственные значения с коэффициентами, нелинейно зависящими от спектрального параметра. Дифференциальная задача формулируется как вариационная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве с билинейными формами, нелинейно зависящими от спектрального параметра. Вариационная задача имеет последовательность положительных простых собственных значений, которым соответствует последовательность нормированных собственных функций. Вариационная задача аппроксимируется сеточной схемой метода конечных элементов на равномерной сетке с лагранжевыми конечными элементами произвольного порядка. Устанавливаются оценки погрешности приближенных собственных значений и собственных функций в зависимости от шага сетки и величины собственного значения. Полученные результаты являются обобщением хорошо известных результатов для дифференциальных задач на собственные значения с линейной зависимостью от спектрального параметра.
Ключевые слова: собственное значение, собственная функция, задача на собственные значения, сеточная аппроксимация, метод конечных элементов
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 16-11-10299).
Литература
1. Solov'ev S.I. Approximation of differential eigenvalue problems with a nonlinear dependence on the parameter // Differ. Equations. – 2014. – V. 50, No 7. – P. 947–954. – doi: 10.1134/S0012266114070106.
2. Lyashko A.D., Solov'ev S.I. Fourier method of solution of FE systems with Hermite elements for Poisson equation // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modell. – 1991. – V. 6, No 2. – P. 121–129.
3. Solov'ev S.I. Fast direct methods of solving finite-element grid schemes with bicubic elements for the Poisson equation // J. Math. Sci. – 1994. – V. 71, No 6. – P. 2799–2804.
4. Solov'ev S.I. A fast direct method of solving Hermitian fourth-order finite-element schemes for the Poisson equation // J. Math. Sci. – 1995. – V. 74, No 6. – P. 1371–1376.
5. Dautov R.Z., Lyashko A.D., Solov'ev S.I. The bisection method for symmetric eigenvalue problems with a parameter entering nonlinearly // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modell. – 1994. – V. 9, No 5. – P. 417–427.
6. Solov'ev S.I. The finite element method for symmetric nonlinear eigenvalue problems // Comput. Math. Math. Phys. – 1997. – V. 37, No 11. – P. 1269–1276.
7. Dautov R.Z., Lyashko A.D., Solov'ev S.I. Convergence of the Bubnov–Galerkin method with perturbations for symmetric spectral problems with parameter entering nonlinearly // Differ. Equations. – 1991. – V. 27, No 7. – P. 799–806.
8. Solov'ev S.I. The error of the Bubnov–Galerkin method with perturbations for symmetric spectral problems with a non-linearly occurring parameter // Comput. Math. Math. Phys. – 1992. – V. 32, No 5. – P. 579–593.
9. Solov'ev S.I. Superconvergence of finite element approximations of eigenfunctions // Differ. Equations. – 1994. – V. 30, No 7. – P. 1138–1146.
10. Solov'ev S.I. Superconvergence of finite element approximations to eigenspaces // Differ. Equations. – 2002. – V. 38, No 5. – P. 752–753.
11. Solov'ev S.I. Approximation of differential eigenvalue problems // Differ. Equations. – 2013. – V. 49, No 7. – P. 908–916.
12. Solov'ev S.I. Finite element approximation with numerical integration for differential eigenvalue problems // Appl. Numer. Math. – 2015. – V. 93. – P. 206–214.
13. Solov'ev S.I. Approximation of nonlinear spectral problems in a Hilbert space // Differ. Equations. – 2015. – V. 51, No 7. – P. 934–947.
14. Solov'ev S.I. Approximation of variational eigenvalue problems // Differ. Equations. – 2010. – V. 46, No 7. – P. 1030–1041.
15. Solov'ev S.I. Approximation of positive semidefinite spectral problems // Differ. Equations. – 2011. – V. 47, No 8. – P. 1188–1196. – doi: 10.1134/S001226611108012X.
16. Solov'ev S.I. Approximation of sign-indefinite spectral problems // Differ. Equations. – 2012. – V. 48, No 7. – P. 1028–1041.
17. Badriev I.B., Banderov V.V., Gnedenkova V.L., Kalacheva N.V., Korablev A.I., Tagirov R.R. On the finite dimensional approximations of some mixed variational inequalities // Appl. Math. Sci. – 2015. – V. 9, No 113–116. – P. 5697–5705.
18. Badriev I.B., Garipova G.Z., Makarov M.V., Paymushin V.N. Numerical solution of the issue about geometrically nonlinear behavior of sandwich plate with transversal soft filler // Res. J. Appl. Sci. – 2015. – V. 10, No 8. – P. 428–435.
19. Бадриев И.Б., Гарипова Г.З., Макаров М.В., Паймушин В.Н., Хабибуллин Р.Ф. О решении физически нелинейных задач о равновесии трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2015. – Т. 157, кн. 1. – С. 15–24.
20. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Solvability of physically and geometrically nonlinear problem of the theory of sandwich plates with transversally-soft core // Russ. Math. – 2015. – V. 59, No 10. – P. 57–60. – doi: 10.3103/S1066369X15100072.
21. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Numerical investigation of physically nonlinear problem of sandwich plate bending // Proc. Eng. – 2016. – V. 150. – P. 1050–1055. – doi: 10.1016/j.proeng.2016.07.213.
22. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Mathematical simulation of nonlinear problem of three-point composite sample bending test // Proc. Eng. – 2016. – V. 150. – P. 1056–1062. – doi: 10.1016/j.proeng.2016.07.214.
23. Бадриев И.Б., Нечаева Л.А. Математическое моделирование установившейся фильтрации с многозначным законом // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2013. – № 3. – P. 35–62.
24. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1983. – 424 с.
25. Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. – Philadelphia: Am. Math. Soc., 2002. – xxiii, 529 p.
Поступила в редакцию
5.06.17
Самсонов Антон Андреевич, аспирант кафедры вычислительной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: anton.samsonov.kpfu@mail.ru
Соловьёв Павел Сергеевич, магистрант вычислительной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: pavel.solovev.kpfu@mail.ru
Соловьёв Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: sergei.solovyev@kpfu.ru
Для цитирования: Самсонов А.А., Соловьёв П.С., Соловьёв С.И. Исследование погрешности конечно-элементной аппроксимации нелинейной задачи Штурма – Лиувилля // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 3. – С. 354–363.
For citation: Samsonov A.A., Solov'ev P.S., Solov'ev S.I. Error investigation of finite element approximation for a nonlinear Sturm–Liouville problem. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 3, pp. 354–363. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.
