Условия золотого сечения для радиуса Митюка двусвязных областей

А.В. Казанцев

Казанский Приволжский федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Полный текст PDF

Аннотация

Связь внешней обратной краевой задачи с критическими точками некоторой поверхности является одной из центральных тем теории внешних обратных краевых задач для аналитических функций. В односвязном случае такая поверхность определяется конформным радиусом, в многосвязном она задается радиусом Митюка – функцией Ω(w), для которой величина M(w) = (2π)^–1ln Ω(w) представляет собой вариант обобщенного приведенного модуля, предложенный И.П. Митюком. В настоящей работе для произвольной многосвязной области установлена связь кривизны поверхности Ω = Ω(w) с производными Шварца отображающих функций и с ядерными функциями Бергмана k₀(w,ω) и l₀(w,ω). При переходе к двусвязным областям благодаря выбору кольца в качестве канонической области построены условия, при выполнении которых критические точки радиуса Митюка сосредоточены на линии золотого сечения кольца. Кроме того, показано, что минимально возможный набор критических точек радиуса Митюка в двусвязном случае, состоящий из одного максимума и одного седла, достигается для дробно-линейного решения внешней обратной краевой задачи.

Ключевые слова: внешняя обратная краевая задача, многосвязная область, уравнение Гахова, радиус Митюка, конформный радиус, гиперболическая производная

Литература

1. Гахов Ф.Д.  Об обратных краевых задачах // Докл. АН СССР. – 1952. – Т. 86, № 4. – C. 649–652.

2. Аксентьев Л.А., Киндер М.И., Сагитова С.Б.  Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязной области // Труды семинара по краевым задачам. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1983. – Вып. 20. – С. 22–34.

3. Аксентьев Л.А.  Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области // Изв. вузов. Матем. – 1984. – № 2. – С. 3–11.

4. Митюк И.П.  Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения // Изв. вузов. Матем. – 1964. – № 2. – С. 110–119.

5. Казанцев А.В.  Экстремальные свойства внутренних радиусов и их приложения: Дис. ...   канд. физ.-мат. наук. – Казань, 1990. – 145 c.

6. Казанцев А.В.  Исследование видоизмененного внутреннего радиуса двусвязных областей. – Казань: Казан. ун-т, 1988. – 22 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.12.88. № 9053-В88.

7. Киндер М.И.  О числе решений уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязной области // Изв. вузов. Матем. – 1984. – № 8. – С. 69–72.

8. Киндер М.И.  Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязных областей // Труды семинара по краевым задачам. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1985. – Вып. 22. – С. 104–116.

9. Bergman S., Schiffer M.  Kernel functions and conformal mapping // Compositio Math. – 1951. – T. 8, F. 3. – P. 205–249.

10. Соколов А.М.  Основные понятия архитектурного проектирования. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. – 192 с.

11. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е.  Введение в дифференциальную геометрию «в целом». – М.: Наука, 1973. – 440 с.

12. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В.  Новое свойство класса Нехари и его применение // Труды семинара по краевым задачам. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1990. – Вып. 25. – С. 33–51.

13. Szegö G.  On the capacity of a condenser // Bull. Amer. Math. Soc. – 1945. – V. 51, No 5. – P. 325–350.

14. Nehari Z.  The Schwarzian derivative and schlicht functions // Bull. Amer. Math. Soc. – 1949. – V. 55, No 6. – P. 545–551.

15. Kraus W.  Über den Zusammenhang einiger Characteristiken eines einfach zusammenhängenden Bereiches mit der Kreisabbildung // Mitt. Math. Sem. Giessen. – 1932. – V. 21. – P. 1–28.

16. Голузин Г.М.  Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966. – 628 с.

17. Киселев А.В.  Геометрические свойства решений внешней обратной краевой задачи // Изв. вузов. Матем. – 1992. – № 7. – С. 20–25.

18. Лебедев Н.А.  Принцип площадей в теории однолистных функций. – М.: Наука, 1975. – 336 с.

19. Bergman S.  The kernel function and conformal mapping // Amer. Math. Soc., Math. Surveys. – 1950. – V. 5. – P. 1–161.

20. Гахов Ф.Д.  Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.

21. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т.  Обратные краевые задачи и их приложения. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1965. – 333 с.

22. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В., Киндер М.И., Киселев А.В.  О классах единственности внешней обратной краевой задачи // Труды семинара по краевым задачам. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1990. – Вып. 24. – С. 39–62.

23. Ахиезер Н.И.  Элементы теории эллиптических функций. – М.: Наука, 1970. – 304 с.

24. Gehring F.W., Pommerenke Ch.  On the Nehari univalence criterion and quasicircles // Comment. Math. Helv. – 1984. – V. 59. – P. 226–242.

25. Казанцев А.В.  Бифуркации и новые условия единственности критических точек гиперболических производных // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2011. – Т. 153, кн. 1. – С. 180–194.

Поступила в редакцию

22.12.16

Казанцев Андрей Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail:  avkazantsev63@gmail.com

Для цитирования: Казанцев А.В. Условия золотого сечения для радиуса Митюка двусвязных областей // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 1. – С. 33–46.

For citation: Kazantsev A.V. Sectio aurea conditions for Mityuk's radius of two-connected domains. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 1, pp. 33–46. (In Russian)

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.