А.В. Казанцев
Казанский Приволжский федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Связь внешней обратной краевой задачи с критическими точками некоторой поверхности является одной из центральных тем теории внешних обратных краевых задач для аналитических функций. В односвязном случае такая поверхность определяется конформным радиусом, в многосвязном она задается радиусом Митюка – функцией Ω(w), для которой величина M(w) = (2π)–1ln Ω(w) представляет собой вариант обобщенного приведенного модуля, предложенный И.П. Митюком. В настоящей работе для произвольной многосвязной области установлена связь кривизны поверхности Ω = Ω(w) с производными Шварца отображающих функций и с ядерными функциями Бергмана k0(w,ω) и l0(w,ω). При переходе к двусвязным областям благодаря выбору кольца в качестве канонической области построены условия, при выполнении которых критические точки радиуса Митюка сосредоточены на линии золотого сечения кольца. Кроме того, показано, что минимально возможный набор критических точек радиуса Митюка в двусвязном случае, состоящий из одного максимума и одного седла, достигается для дробно-линейного решения внешней обратной краевой задачи.
Ключевые слова: внешняя обратная краевая задача, многосвязная область, уравнение Гахова, радиус Митюка, конформный радиус, гиперболическая производная
Литература
1. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах // Докл. АН СССР. – 1952. – Т. 86, № 4. – C. 649–652.
2. Аксентьев Л.А., Киндер М.И., Сагитова С.Б. Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязной области // Труды семинара по краевым задачам. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1983. – Вып. 20. – С. 22–34.
3. Аксентьев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области // Изв. вузов. Матем. – 1984. – № 2. – С. 3–11.
4. Митюк И.П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения // Изв. вузов. Матем. – 1964. – № 2. – С. 110–119.
5. Казанцев А.В. Экстремальные свойства внутренних радиусов и их приложения: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. – Казань, 1990. – 145 c.
6. Казанцев А.В. Исследование видоизмененного внутреннего радиуса двусвязных областей. – Казань: Казан. ун-т, 1988. – 22 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.12.88. № 9053-В88.
7. Киндер М.И. О числе решений уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязной области // Изв. вузов. Матем. – 1984. – № 8. – С. 69–72.
8. Киндер М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязных областей // Труды семинара по краевым задачам. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1985. – Вып. 22. – С. 104–116.
9. Bergman S., Schiffer M. Kernel functions and conformal mapping // Compositio Math. – 1951. – T. 8, F. 3. – P. 205–249.
10. Соколов А.М. Основные понятия архитектурного проектирования. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. – 192 с.
11. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». – М.: Наука, 1973. – 440 с.
12. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В. Новое свойство класса Нехари и его применение // Труды семинара по краевым задачам. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1990. – Вып. 25. – С. 33–51.
13. Szegö G. On the capacity of a condenser // Bull. Amer. Math. Soc. – 1945. – V. 51, No 5. – P. 325–350.
14. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions // Bull. Amer. Math. Soc. – 1949. – V. 55, No 6. – P. 545–551.
15. Kraus W. Über den Zusammenhang einiger Characteristiken eines einfach zusammenhängenden Bereiches mit der Kreisabbildung // Mitt. Math. Sem. Giessen. – 1932. – V. 21. – P. 1–28.
16. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966. – 628 с.
17. Киселев А.В. Геометрические свойства решений внешней обратной краевой задачи // Изв. вузов. Матем. – 1992. – № 7. – С. 20–25.
18. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. – М.: Наука, 1975. – 336 с.
19. Bergman S. The kernel function and conformal mapping // Amer. Math. Soc., Math. Surveys. – 1950. – V. 5. – P. 1–161.
20. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
21. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1965. – 333 с.
22. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В., Киндер М.И., Киселев А.В. О классах единственности внешней обратной краевой задачи // Труды семинара по краевым задачам. – Казань: Казан. гос. ун-т, 1990. – Вып. 24. – С. 39–62.
23. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. – М.: Наука, 1970. – 304 с.
24. Gehring F.W., Pommerenke Ch. On the Nehari univalence criterion and quasicircles // Comment. Math. Helv. – 1984. – V. 59. – P. 226–242.
25. Казанцев А.В. Бифуркации и новые условия единственности критических точек гиперболических производных // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2011. – Т. 153, кн. 1. – С. 180–194.
Поступила в редакцию
22.12.16
Казанцев Андрей Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: avkazantsev63@gmail.com
Для цитирования: Казанцев А.В. Условия золотого сечения для радиуса Митюка двусвязных областей // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 1. – С. 33–46.
For citation: Kazantsev A.V. Sectio aurea conditions for Mityuk's radius of two-connected domains. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 1, pp. 33–46. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.