Решение задачи градиентной термоупругости для полосы с покрытием

А.О. Ватульян^1,2 , С.А. Нестеров²

¹Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону, 344006, Россия

²Южный математический институт – филиал Владикавказского научного центра РАН, г. Владикавказ, 362027, Россия

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

Полный текст PDF

DOI: 10.26907/2541-7746.2021.2.181-196

Для цитирования: Ватульян А.О., Нестеров С.А. Решение задачи градиентной термоупругости для полосы с покрытием // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2021. – Т. 163, кн. 2. – С. 181–196. – doi: 10.26907/2541-7746.2021.2.181-196.

For citation: Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Solution of the problem of gradient thermoelasticity for a coated strip. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 163, no. 2, pp. 181–196. doi: 10.26907/2541-7746.2021.2.181-196. (In Russian)

Аннотация

Приведена постановка однопараметрической задачи градиентной термоупругости для системы «термозащитное покрытие – подложка», которая моделируется составной полосой бесконечной длины. Решение построено с использованием интегрального преобразования Фурье по горизонтальной координате. После нахождения трансформанты температуры были определены трансформанты горизонтального и вертикального перемещений. Для нахождения трансформант перемещений использовался асимптотический метод Вишика – Люстерника с учетом наличия погранслойных решений в окрестности границ полос. Численное обращение трансформант строилось на основе составной квадратурной Филона. Проведены вычисления перемещений, напряжений Коши и моментных напряжений. Установлено, что напряжения Коши терпят разрыв на линии сопряжения полос. Исследована зависимость скачка напряжений Коши от соотношения физических характеристик материалов покрытия и подложки, относительной толщины покрытия и масштабного параметра. Проведен анализ полученных результатов.

Ключевые слова: полоса, покрытие, градиентная термоупругость, напряжения Коши, моментные напряжения, пограничный слой, метод Вишика – Люстерника, скачок напряжений

Благодарности. Работа выполнена при поддержке Южного математического института – филиала ВНЦ РАН, г. Владикавказ.

Литература

1. Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Ration. Mech. Anal. – 1962. – V. 11. – P. 385–414. – doi: 10.1007/BF00253945.
2. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. – 1964. – V. 16. – P. 51–78. – doi: 10.1007/BF00248490.
3. Ahmadi G., Firoozbakhsh K. First strain gradient theory of thermoelasticity // Int. J. Solids Struct. – 1975. – V. 11, No 3. – P. 339–345.
4. Altan B.S., Aifantis E.C. On some aspects in the special theory of gradient elasticity // J. Mech. Behav. Mater. – 1997. – V. 8, No 3. – P. 231–282. – doi: 10.1515/JMBM.1997.8.3.231.
5. Лурье С.А., Фам Т., Соляев Ю.О. Градиентная модель термоупругости и ее приложения к моделированию тонкослойных композитных структур // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2012. – Т. 18, № 3. – С. 440–449.
6. Aifantis K., Askes H. Gradient elasticity with interfaces as surfaces of discontinuity for the strain gradient // J. Mech. Behav. Mater. – 2007. – V. 18, No 4. – P. 283–306. – doi: 10.1515/JMBM.2007.18.4.283.
7. Лурье С.А., Соляев Ю.О., Рабинский Л.Н., Кондратова Ю.Н., Волов М.И. Моделирование напряженно-деформированного состояния тонких композитных покрытий на основе решения плоской задачи градиентной теории упругости для слоя // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2013. – №. 1. – С. 161–181.
8. Zhang N.H., Meng W.L., Aifantis E.C. Elastic bending analysis of bilayered beams containing a gradient layer by an alternative two-variable method // Compos. Struct. – 2011. – V. 93, No 12. – P. 3130–3139. – doi: 10.1016/j.compstruct.2011.06.019.
9. Li A., Zhou Sh., Zhou Sh., Wang B. A size-dependent bilayered microbeam model based on strain gradient elasticity theory // Compos. Struct. – 2014. – V. 108. – P. 259– 266. – doi: 10.1016/j.compstruct.2013.09.020.
10. Li A., Zhou Sh., Zhou Sh., Wang B. A size-dependent model for bi-layered Kirchhoff micro-plate // Compos. Struct. – 2014. – V. 113. – P. 272–280. – doi: 10.1016/j.compstruct.2014.03.028.
11. Fu G., Zhou Sh., Qi L. The size-dependent static bending of a partially covered laminated microbeam // Int. J. Mech. Sci. – 2019. – V. 152. – P. 411–419. – doi: 10.1016/j.ijmecsci.2018.12.037.
12. Sadeghi H., Baghani M., Naghdabadi R. Strain gradient thermoelasticity of functionally graded cylinders // Sci. Iran., Trans. B. – 2014. – V. 21, No 4. – P. 1415–1423.
13. Papargyri-Beskou S., Tsinopoulos S. Lame’s strain potential method for plane gradient elasticity problems // Arch. Appl. Mech. – 2015. – V. 85, No 9–10. – P. 1399–1419. – doi: 10.1007/s00419-014-0964-5.
14. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. – М.: Мир, 1964. – 517 с.
15. Коваленко А.Д. Термоупругость. – Киев: Вища шк., 1975. – 216 с.
16. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. – М.: Наука, 1967. – 500 с.
17. Filon L.N.G. III.–On a quadrature formula for trigonometric integrals // Proc. R. Soc. Edinburgh. – 1930. – V. 49. – P. 38–47.
18. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Усп. матем. наук. – 1957. – Т. 12, № 5. – С. 3–122.

Поступила в редакцию

20.11.2020

Ватульян Александр Ованесович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича; заведующий отделом дифференциальных уравнений

Южный федеральный университет

ул. Большая Садовая, д. 105/42, г. Ростов-на-Дону, 344006, Россия

Южный математический институт – филиал Владикавказского научного центра РАН

ул. Ватутина, д. 53, г. Владикавказ, 362025, Россия

E-mail: aovatulyan@sfedu.ru

Нестеров Сергей Анатольевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений

Южный математический институт – филиал Владикавказского научного центра РАН

ул. Ватутина, д. 53, г. Владикавказ, 362025, Россия

E-mail: 1079@list.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.