Метод Фаньяно решения алгебраических уравнений: исторический обзор и его развитие
Институты и факультеты
Главная \ Наука \ Научные издания КФУ \ Ученые записки Казанского университета \ Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки \ Архив

Метод Фаньяно решения алгебраических уравнений: исторический обзор и его развитие

А.Н. Абызов

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

 

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

Полный текст PDF

DOI: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.304-348

Для цитирования: Абызов А.Н. Метод Фаньяно решения алгебраических уравнений: исторический обзор и его развитие // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2021. – Т. 163, кн. 3–4. – С. 304–348. – doi: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.304-348.

For citation: Abyzov A.N. Fagnano's method for solving algebraic equations: Its historical overview and development. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 163, no. 3–4, pp. 304–348. doi: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.304-348. (In Russian)

Аннотация

Статья является обзорно-методической: дан исторический обзор результатов, связанных с использованием алгебраических тождеств при решении алгебраических уравнений, в частности, рассмотрены работы Ф. Дюлорана, Г.В. Лейбница и Фаньяно. Изучены связи между тригонометрическими тождествами, известными линейными рекуррентными последовательностями и теми видами алгебраических тождеств, которые тесно связаны с известными семействами алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах.

Ключевые слова: алгебраические уравнения, последовательности Люка, групповые определители

Благодарности. Автор выражает благодарность Д.Т. Тапкину за постоянное внимание к работе и сделанные полезные замечания.

Литература

  1. Fagnano G.C. Soluzione di quattro problemi analitici // Fagnano G.C. Opere Matematiche: 2 t. – Milano; Roma; Napoli: Albrighi Segati, 1911. – T. 2. – 516 p.
  2. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. – М.: ГИФМЛ, 1960. – 468 с.
  3. Dulaurens Fr. Specimina Mathematica. – Paris, 1667.
  4. Schneider I. Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667–1754) // Archive for History of Exact Sciences. – 1968. – V. 5, No 3/4. – P. 177–317.
  5. Haukkanen P., Merikoski J., Mustonen S. Some polynomials associated with regular polygons // Acta Univ. Sapientiae, Math. – 2014. – V. 6, No 2. – P. 178–193. – doi: 10.1515/ausm-2015-0005.
  6. Savio D.Y., Suryanarayan E.R. Chebychev polynomials and regular polygons // Am. Math. Mon. – 1993. – V. 100, No 7. – P. 657–661. – doi: 10.1080/00029890.1993.11990466.
  7. Laughlin J.Mc. Combinatorial identities deriving from the n-th power of a 2 × 2 matrix // Integers. – 2004. – V. 4. – P. 1–15.
  8. Eulero L. De resolutione aequationum cuiusvis gradus // Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petropolitanae. – Petropolis, 1764. – V. 9 (1762–1763). – P. 70–98.
  9. Kaddoura I., Mourad B. On a class of matrices generated by certain generalized permutation matrices and applications // Linear Multilinear Algebra. – 2018. – V. 67, No 10. – P. 2117–2134. – doi: doi: 10.1080/03081087.2018.1484420.
  10. Grunert J.A. Die allgemeine Cardanische Formel // Arch. Math. Phys. – 1863. – Bd. 40. – S. 246–249.
  11. Blum-Smith B., Wood J. Chords of an ellipse, Lucas polynomials, and Cubic Equations // Am. Math. Mon. – 2020. – V. 127, No 8. – P. 688–705. – doi: 10.1080/00029890.2020.1785253.
  12. Solomon R. Abstract Algebra. – Belmont: Thompson Brooks/Cole, 2003. – 227 p.
  13. Spearman B.K., Williams K.S. DeMoivre's quintic and a theorem of Galois // Far East J. Math. Sci. – 1999. – V. l. – P. 137–143.
  14. Borger R.L. On DeMoivre's quintic // Am. Math. Mon. – 1908. – V. 15, No 10. – P. 171– 174. – doi: 10.1080/00029890.1908.11997448.
  15. Майстрова А.Л. Решение алгебраических уравнений в работах Л. Эйлера // Историко-математические исследования / Под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1985. – Вып. 29. – С. 189–199.
  16. Valles F. Des formes imaginaires en algebre. – Paris: Gauthier-Villars, 1873. – 539 p.
  17. Stedall J.A. From Cardano's Great Art to Lagrange's Reflections: Filling a Gap in the History of Algebra. – Zürich: Eur. Math. Soc., 2011. – 224 p.
  18. Dickson L.E. History of the Theory of Numbers. – Washington: Carnegie Inst., 1919. – V. I: Divisibility and primality. – XII, 486 p.
  19. Girard A. Invention nouvelle en l'algebre. – Amsterdam, 1629. – 72 p.
  20. Waring E. Miscellanea analytica de aequationibus algebraicis, et curvarum proprietatibus. – Cambridge: Thurlbourn Woodyer, 1762. – 206 p.
  21. Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. – М; Л.: Гостехиздат, 1941. – 460 с.
  22. Лобачевский Н.И. Сочинения по алгебре. Алгебра или вычисление конечных. Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8 // Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений: в 5 т. / Гл. ред. В.Ф. Каган. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. – Т. 4. – 472 с.
  23. De Moivre A. Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, et superiorum, ad infinitum usque pergendo, in terminis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani resolutio analytica // Philos. Trans. – 1707. – V. 25, No 309. – P. 2368–2371.
  24. Wituła R., Słota D. Cardano's formula, square roots, Chebyshev polynomials and radicals // J. Math. Anal. Appl. – 2010. – V. 363, No 2. – P. 639–647. – doi: 10.1016/j.jmaa.2009.09.056.
  25. Dickson L.E. Elementary Theory of Equations. – N. Y.: Wiley, 1914. – 196 p.
  26. Dickson L.E. Linear Groups: With an Exposition of the Galois Field Theory. – Leipzig: Teubner, 1901. – X, 312 p.
  27. Williams K.S. A generalization of Cardan's solution of the cubic // Math. Gaz. – 1962. – V. 46, No 357. – P. 221–223.
  28. Lehmer D.H. On the multiple solutions of the Pell equation // Ann. Math. – 1928. – V. 30, No 1/4. – P. 66–72.
  29. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных: в 2 т. – М.: Физматгиз, 1961. – Т. 1. – 315 с.
  30. Wituła R., Słota D. Cauchy, Ferrers–Jackson and Chebyshev polynomials and identities for the powers of elements of some conjugate recurrence sequences // Cent. Eur. J. Math. – 2006. – V. 4, No 3. – P. 531–546. – doi: 10.2478/s11533-006-0022-9.
  31. Kepler J. Harmonice Mundi // Kepler J. Opera Omnia. Bd. 5. – Frankfurt: Heyder Zimmer, 1864. – S. 75–327.
  32. Kappraff J. Beyond Measure: A Guided Tour through Nature, Myth, and Number. – River Edge, N. J.: World Sci. Publ., 2002. – XXX, 582 p.
  33. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 980 с.
  34. Eisenstein G. Application de l'algebre a l'arithmetique transcendante // J. Reine Angew. Math. – 1845. – T. 29. – P. 177–184. – doi: 10.1515crll.
  35. Liouville J. Sur la loi de reciprocite dans la theorie des residus quadratiques // J. Math. Pures Appl. – 1847. – T. 12. – P. 95–96.
  36. Baumgart O., Lemmermeyer F. The Quadratic Reciprocity Law: A Collection of Classical Proofs. – Cham; Heidelberg; N. Y.; Dordrecht; London: Birkhauser Springer, 2015. – XIV, 172 p.
  37. Perrin R. Item 1484 // L'Intermed. Math. – 1899. – T. 6. – P. 76–77.
  38. Minton G.T. Three approaches to a sequence problem // Math. Mag. – 2011. – V. 84, No 1. – P. 33–37. – doi: 10.4169/math.mag.84.1.033.
  39. Schönemann T. Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung. Allgemeine Sätze über Congruenzen nebst einigen Anwendungen derselben // J. Reine Angew. Math. – 1839. – Bd. 19. – S. 289–308.
  40. Шатуновский С.О. Об условиях существования n неравных корней сравнения n -й степени по простому модулю. – Казань: Тип.-лит. Имп. ун-та, 1903. – 19 с.
  41. Arnold V.I. On the matricial version of Fermat–Euler congruences // Jpn. J. Math. – 2006. – V. 1, Art. 1. – P. 1–24. – doi: 10.1007/s11537-006-0501-6.
  42. Browder F.E. The Lefschetz fixed point theorem and asymptotic fixed point theorems in partial differential equations and related topics // Lecture Notes in Mathematics. – V. 446. – N. Y.: Springer-Verlag, 1975. – P. 96–122.
  43. Peitgen H.O. On the Lefschetz Number for Iterates of Continuous Mappings // Proc. Am. Math. Soc. – 1976. – V. 54, No 1. – P. 441–444. – doi: 0.1090/S0002-9939-1976-0391074-1.
  44. Janichen W. Uber die Verallgemeinerung einer Gaussschen Formel aus der Theorie der hoheren Kongruenzen // Sitzungsber. Berlin. Math. Ges. – 1921. – Bd. 20. – S. 23–29.
  45. Adams W.W., Shanks D. Strong primality tests that are not sufficient // Math. Comput. – 1982. – V. 39, No 159. – P. 255–300.
  46. Винберг Э.Б. Малая теорема Ферма и ее обобщения // Матем. просвещение. Сер. 3. – 2008. – № 12. – С. 43–53.
  47. Зарелуа А.В. О матричных аналогах малой теоремы Ферма // Матем. заметки. – 2006. – Т. 79, № 6. – С. 838–853. – doi: 10.4213/mzm2758.
  48. Jezierski J., Marzantowicz W. Homotopy methods in topological fixed and periodic points theory // Gorniewicz L. (Ed.) Topological Fixed Point Theory and Its Applications. – Dordrecht: Springer, 2006. – V. 3. – XII, 319 p.
  49. Schur I. Arithmetische Eigenschaften der Potenzsummen einer algebraischen Gleichung // Compos. Math. – 1937. – Bd. 4. – S. 432–444.
  50. Smyth C.J. A coloring proof of a generalisation of Fermat's little theorem // Am. Math. Mon. – 1986. – V. 93, No 6. – P. 469–471.
  51. Steinlein H. Fermat's little theorem and Gauss congruence: Matrix versions and cyclic permutations // Am. Math. Mon. – 2017. – V. 124, No 6. – P. 548–553.
  52. Зарелуа А.В. О сравнениях для следов степеней некоторых матриц // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. – 2008. – Т. 263. – С. 85–105.
  53. Beukers F., Houben M.R., Straub A. Gauss congruences for rational functions in several variables // Acta Arithmetica. – 2018. – V. 184, No 4. – P. 341–362. – doi: 10.4064/aa170614-13-7.
  54. Minton G.T. Linear recurrence sequences satisfying congruence conditions // Proc. Am. Math. Soc. – 2014. – V. 142, No 7. – P. 2337–2352.
  55. Чеботарёв Н.Г. Самуил Осипович Шатуновский (к 10-летию со дня смерти) // Усп. матем. наук. – 1940. – № 7. – С. 316–321.
  56. Ламбек И. Кольца и модули. – М.: Мир, 1971. – 280 с.
  57. Sun Z.-H. Cubic and quartic congruences modulo a prime // J. Number Theory. – 2003. – V. 102, No 1. – P. 41–89. – doi: 10.1016/S0022-314X(03)00067-2.
  58. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. – Харьков: ОНТИ, 1937. – 214 с.
  59. Johnson K.W. Group Matrices, Group Determinants and Representation Theory: The Mathematical Legacy of Frobenius. – N. Y.: Springer Int. Publ., 2019. – 409 p. (Lecture Notes in Mathematics. V. 2233)
  60. Pen-Tung Sah A. A uniform method of solving cubics and quartics // Am. Math. Mon. – 1945. – V. 52, No 4. – P. 202–206.

Поступила в редакцию

16.09.2021

 

Абызов Адель Наилевич, доктор физико математических наук, профессор кафедры

алгебры и математической логики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: aabyzov@kpfu.ru

 

 

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


Версия для печати Версия для печати
Ключевые слова: Абызов, Ученые записки
Вход в личный кабинет
Ваш логин
Ваш пароль
Забыли пароль? Регистрация