Контактная и почти контактная структуры на вещественном расширении плоскости Лобачевского

В.И. Паньженский, А.О. Растрепина

Пензенский государственный университет, г. Пенза, 440026, Россия

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

Полный текст PDF

DOI: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.291-303

Для цитирования: Паньженский В.И., Растрепина А.О. Контактная и почти контактная структуры на вещественном расширении плоскости Лобачевского // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2021. – Т. 163, кн. 3–4. – С. 291– 303. – doi: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.291-303.

For citation: Pan'zhenskii V.I., Rastrepina A.O. Contact and almost contact structures on the real extension of the Lobachevsky plane. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 163, no. 3–4, pp. 291–303. doi: 10.26907/2541-7746.2021.3-4.291-303. (In Russian)

Аннотация

В работе рассмотрена групповая модель G вещественного расширения плоскости Лобачевского H2 × R. Группа G является группой Ли матриц специального вида и подгруппой полной линейной группы GL(3, R) . Доказано, что на групповой модели вещественного расширения плоскости Лобачевского существует единственная левоинвариантная почти контактная метрическая структура с римановой метрикой прямого произведения, инвариантная относительно группы изометрий. Введено понятие линейной связности, согласованной с распределением. Найдены все левоинвариантные линейные связности, относительно которых тензоры почти контактной метрической структуры (η, ξ, ϕ, g) ковариантно постоянны. Среди левоинвариантных дифференциальных 1-форм выделена каноническая форма, определяющая на G контактную структуру. Найдены левоинвариантные контактные метрические связности. Имеется единственная левоинвариантная связность, относительно которой все тензоры почти контактной метрической структуры и каноническая контактная форма ковариантно постоянны. Доказано, что данная связность согласована с контактным распределением в том смысле, что через каждую точку в каждом контактном направлении проходит единственная геодезическая, касающаяся контактного распределения. Найдены параметрические уравнения геодезических данной связности. Установлено также, что связность Леви-Чивита римановой метрики прямого произведения не является связностью, согласованной с контактным распределением.

Ключевые слова: группа Ли, контактная структура, почти контактная структура, левоинвариантная связность, контактные геодезические

Литература

1. Вершик А.М., Фадеев Л.Д. Лагранжева механика в инвариантном изложении // Проблемы теоретической физики: Сб. ст. / Под ред. М.Г. Веселова и др. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1975. – C. 129–141.
2. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. – 1987. – T. 16. – C. 5–85.
3. Сачков Ю.Л. Теория управления на группах Ли // Современная математика. Фундаментальные направления. – 2008. – T. 27. – C. 5–59.
4. Аграчев А.А. Некоторые вопросы субримановой геометрии // Усп. матем. наук. – 2016. – T. 71, № 6. – С. 3–36.
5. Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях / Под ред. В.И. Арнольда. – М.: Мир, 1986. – 164 с.
6. Терстон У. Трехмерная геометрия и топология / Пер. с англ. под ред. О.В. Шварцмана. – М.: МЦНМО, 2001. – 312 с.
7. Pan'zhenskii V.I., Klimova T.R. The contact metric connection on the Heisenberg group // Russ. Math. – 2018. – V. 62, No 11. – P. 45–52. – doi: 10.3103/S1066369X18110051.
8. Panzhenskii V.I., Klimova T.R. The contact metric connection with skew torsion // Russ. Math. – 2019. – V. 63, No 11. – P. 47–55. – doi: 10.3103/S1066369X19110070.
9. Паньженский В.И., Растрепина А.О. Левоинвариантная контактная метрическая структура на многообразии Sol // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2020. – Т. 162, кн. 1. – С. 77–90. – doi: 10.26907/2541-7746.2020.1.77-90.
10. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry. – Berlin; N. Y.: Springer, 1976. – 148 p. – doi: 10.1007/BFb0079307.
11. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. – Одесса: Печатный дом, 2013. – 458 с.

Поступила в редакцию

06.04.2021

Паньженский Владимир Иванович, кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математическое образование»

Пензенский государственный университет

ул. Красная, 40, г. Пенза, 440026, Россия

E-mail: kaf-geom@yandex.ru

Растрепина Анастасия Олеговна, студент факультета физико-математических и естественных наук

Пензенский государственный университет

ул. Красная, 40, г. Пенза, 440026, Россия

E-mail: n.rastrepina@mail.ru

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.