Регулярное замощение плоскости Лобачевского

П.И. Трошин

Казанский ( Приволжский ) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2019.4.591-605

Для цитирования : Трошин П.И. Регулярное замощение плоскости Лобачевского // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 4. – С. 591–605. – doi: 10.26907/2541-7746.2019.4.591-605.

For citation : Troshin P.I. Regular tessellation of the Lobachevskii plane. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, vol. 161, no. 4, pp. 591–605. doi: 10.26907/2541-7746.2019.4.591-605. (In Russian)

Аннотация

Работа посвящена изучению комбинаторно-топологического устройства регулярных замощений плоскости Лобачевского (правильными многоугольниками) и описанию нового алгоритма построения таких замощений. Актуальность исследования определяется, с одной стороны, непрекращающимся интересом к гиперболической геометрии, и в частности, к замощениям в ней, а с другой – недостаточностью имеющихся описаний алгоритмов и их реализаций.

Для построения протоплитки и слоев замощения используются группа движений модели Бельтрами – Клейна (повороты и параллельные переносы), тригонометрия плоскости Лобачевского, изометрии с другими моделями этой плоскости. Замощение разделяется на слои, а слои – на подклассы плиток, устройство каждого слоя зависит от предыдущего.

Предложен алгоритм регулярного замощения плоскости Лобачевского, при котором замощение строится послойно, без повторения плиток, путем применения собственных движений к единственной исходной протоплитке; алгоритм реализован в виде псевдокода и в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica; найдены формулы для подсчета количества плиток в слоях при таком построении замощения.

Полученные результаты и наблюдения могут быть полезными при построении регулярных замощений в гиперболической геометрии.

Ключевые слова: регулярное замощение, покрытие, плоскость Лобачевского, гиперболическая геометрия, символ Шлефли, группа движений, модель Бельтрами – Клейна, плитка, протоплитка

Благодарности. Автор выражает благодарность рецензентам за замечания по стилю рукописи.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-31-00295).

Литература

1. Poincar´e H. Th´eorie des groupes fuchsiens // Acta Math. – 1882. – V. 1. – P. 1–62.
2. Schattschneider D. The mathematical side of M.C. Escher // Not. AMS. – 2010. – V. 57, No 6. – P. 706–718.
3. Coxeter H.S.M. Regular compound tessellations of the hyperbolic plane // Proc. R. Soc. London, Ser. A. – 1964. – V. 278, No 1373. – P. 147–167. – doi: 10.1098/rspa.1964.0052.
4. Tennant R.F. Constructing tessellations and creating hyperbolic art // Symmetry: Cult. Sci. – 1992. – V. 3, No 4. – P. 367–383.
5. Magnus W. Noneuclidean Tesselations and Their Groups. – N. Y.: Acad. Press, 1974. – 208 p.
6. Beardon A.F. The Geometry of Discrete Groups. – N. Y.: Springer, 1983. – 337 p.
7. Levy S. Automatic generation of hyperbolic tilings // Leonardo. – 1992. – V. 25, No 3. – P. 349–354. – doi: 10.2307/1575861.
8. Epstein D.B.A., Cannon J., Levy S., Holt D., Patterson M., Thurston W. Word Processing in Groups. – Boston: Jones Bartlett, 1992. – 352 p.
9. Dunham D. Hyperbolic symmetry // Comput. Math. Appl. – 1986. – V. 12, No 1–2, Pt. B. – P. 139–153. – doi: 10.1016/0898-1221(86)90147-1.
10. Albuquerque C.D., Palazzo R., Silva E.B. Topological quantum codes on compact surfaces with genus g ≥ 2 // J. Math. Phys. – 2009. – V. 50, No 2. – Art. 023513, P. 1–20. – doi: 10.1063/1.3081056.
11. Сосов Е.Н. Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. – Казань : Казан. фед. ун-т, 2016. – 84 с.
12. Firer M., Silva E.B. On the behavior of growth of polygons in semi-regular hyperbolic tessellations // Cogent Math. – 2017. – V. 4, No 1. – Art. 1302790, P. 1–10. – doi: 10.1080/23311835.2017.1302790.
13. Zamorzaeva E. Isohedral tilings by 8-, 10- and 12-gons for hyperbolic translation group of genus two // Bul. Acad. S¸tiin¸te Repub. Mold. Mat. – 2018. – No 2. – P. 74–84.
14. Ahara K., Akiyama Sh., Hayashi H., Komatsu K. Strongly nonperiodic hyperbolic tilings using single vertex configuration // Hiroshima Math. J. – 2018. – V. 48, No 2. – P. 133– 140. – doi: 10.32917/hmj/1533088825.
15. Ouyang P., Cheng D., Cao Y., Zhan X. The visualization of hyperbolic patterns from invariant mapping method // Comput. Graphics. – 2012. – V. 36, No 2 – P. 92–100. – doi: 10.1016/j.cag.2011.12.005.
16. Chen N., Chung K.W. Efficient generation of hyperbolic patterns from a single asymmetric motif // Fractals. – 2016. – V. 24, No 4. – Art. 1650043. – doi: 10.1142/S0218348X16500432.

Поступила в редакцию 11.03.19

Трошин Павел Игоревич, кандидат физико-математических наук, ведущий программист

Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия

E-mail: paul.troshin@gmail.com

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.