Борис Лукич Лаптев родился 23 апреля 1905 года в Казани, в семье врача. В 1923 году он поступил на физико-математический факультет Казанского университета, в 1930 году окончил университет, получив довольно основательную подготовку. Достаточно сказать, что в те годы на факультете преподавали Д. Н. Зейлигер, Н. Г. Чеботарев, П. А. Широков и др. К этому следует добавить, что еще при поступлении в университет Борис Лукич свободно владел французским, изучал латынь, читал со словарем на немецком и английском, а позже, уже в зрелом возрасте, неплохо владел и итальянским. Он был зачислен в аспирантуру по представлению профессора Н. Н. Парфентьева. Работая под научным руководством П. А. Широкова, активно участвуя в работе геометрического семинара, Борис Лукич в 1939 году защитил кандидатскую диссертацию "Исследования геометрии пространств Финслера", теория которых возникла на пути геометризации вариационного исчисления. В том же году он получил ученое звание доцента. В 1944 году после безвременной смерти П. А. Широкова Б. Л. Лаптев стал заведовать кафедрой геометрии. В 1945 году по его инициативе в Казань на должность заведующего кафедрой был приглашен профессор Александр Петрович Норден, талантливый ученый, представитель Московской геометрической школы.

Борис Лукич полностью погрузился в научные исследования по созданию теории пространств опорных элементов – широкого обобщения теории финслеровых пространств. Правда, эта работа сильно тормозилась активной общественной деятельностью Бориса Лукича, без которой его невозможно было представить. Кроме того, в 1951-58 годах свою научную работу ему пришлось совмещать с должностью декана физико-математического факультета. Перерыв в этой должности на полтора года (1953-54 гг.) был связан с пребыванием Бориса Лукича в докторантуре МГУ (его научным консультантом был проф. С. П. Фиников). Защита докторской диссертации «Пространства опорных элементов» состоялась в МГУ в 1959 г.

Пространство опорных элементов представляет собой, говоря современным языком, расслоение дифференциально-геометрических объектов заданного типа, а типовой слой этого расслоения есть пространство представления дифференциальной группы соответствующего порядка. Эта группа возникает естественным образом в результате дифференциального продолжения (полного лифта) преобразований на базе расслоения. Таким образом, вместе с В. В. Вагнером и Г. Ф. Лаптевым Борис Лукич стал одним из инициаторов исследований в этой области дифференциальной геометрии обобщенных пространств. В этих пространствах Б. Л. Лаптев развил аппарат дифференцирования Ли и указал его приложения к исследованию автоморфизмов. Им была также развита теория связностей в пространствах тензорных опорных элементов. В 1984 г. за цикл работ по геометрии обобщенных пространств Академией Наук СССР Борис Лукич был награжден медалью имени П. Л. Чебышева.

Б. Л. Лаптев широко известен и своими исследованиями по истории математики, особенно в той ее части, которая связана с Казанским университетом. Интерес к этой проблематике возник у него, по-видимому, в 1943 г., когда Казанский университет совместно с Академией Наук СССР отмечал 150-летие со дня рождения Н. И. Лобачевского. Принимая активное участие в подготовке этого юбилея, он написал научную биографию Н. И. Лобачевского для юбилейного сборника. С 1948 г. он совместно с А. П. Норденом и другими учеными факультета принимал деятельное участие в подготовке и издании полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского. Позже, уже в 70-х годах, он совместно с П. С. Александровым, будучи ответственным редактором, завершил эту громадную работу подготовкой к изданию дополнительного тома «Н. И. Лобачевский. Научно-педагогическое наследие. Руководство университетом. Фрагменты. Письма» (1976 г.). Борис Лукич участвовал также в создании диафильма «Н. И. Лобачевский» и кинофильма «Загадка пятого постулата», был организатором и руководителем «Лобачевских чтений» в КГУ. Уделяя большое внимание популяризации идей Лобачевского, Борис Лукич написал ряд книг, рассчитанных на широкую аудиторию: «Николай Иванович Лобачевский» (1976 г.), «Н. И. Лобачевский и его геометрия» (1976 г.), «Что читал Лобачевский?» (совместно с А. Г. Каримуллиным, 1979 г.). Первые две написаны в ходе подготовки к международной научной конференции, посвященной 150-летию неевклидовой геометрии. Борис Лукич был главным ее вдохновителем и организатором. Он является также соавтором книги, посвященной жизни и деятельности А. П. Котельникова, автором ряда статей, посвященных жизни и творчеству других выдающихся математиков, принимал участие (совместно с А. З. Петровым и А. П. Широковым) в подготовке к изданию трудов своего учителя П. А. Широкова «Избранные работы по геометрии».

Вскоре после защиты докторской диссертации Борис Лукич Лаптев был назначен директором Научно-исследовательского института математики и механики им. Н. Г. Чеботарева. Двадцатилетний период работы в должности директора НИИММ (1961-1980 гг.) был заполнен не только административной деятельностью, но и весьма активной работой в области геометрии, историко-математическими исследованиями, участием в многочисленных всесоюзных и международных конференциях, школах и семинарах, организацией и проведением казанских геометрических конференций. После ухода с должности директора НИИММ Борис Лукич работает профессором-консультантом кафедры геометрии. Он много внимания уделяет работе с аспирантами. В эти годы первый ученик Б. Л. Лаптева Борис Никитович Шапуков закончил и в 1991 году защитил докторскую диссертацию «Структуры на расслоенных многообразиях и вопросы редукции». В этой работе, в частности, дано истолкование основных результатов Бориса Лукича по теории связностей в пространствах тензорных опорных элементов с точки зрения общей теории связностей в векторных расслоениях.

Человек широкой эрудиции, тонкий знаток во многих областях искусства, особенно живописи, Борис Лукич был прекрасным лектором. Он блестяще читал такие общие курсы как «Аналитическая геометрия», «Дифференциальная геометрия», а также многие специальные геометрические курсы, лекции по истории математики и вопросам ее преподавания, научно-популярные лекции для школьников. Научная, педагогическая и общественная деятельность Б. Л. Лаптева была отмечена присвоением ему почетных званий Заслуженного деятеля науки Татарской АССР (1965 г.) и РСФСР (1975 г.). 15 января 1989 года неожиданно для всех Бориса Лукича сразил инсульт, и в тот же день его не стало.

Более подробно о жизни и научной деятельности Б. Л. Лаптева можно прочитать в следующих статьях:

1) Труды геометрического семинара. Казань: Изд-во Казанск. ун-та. – 1975. – Вып. 8. – С. 5 – 10;

2) Успехи матем. наук. – 1976. –  Т. 31. –  Вып.1. –  С.  269 – 272;        

3) Известия вузов. Математика. – 1980. – N 10, С. 3 – 5;

4) Научное наследие Бориса Лукича Лаптева // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. – М.: ВИНИТИ, 1989. – Т. 21. – С. 27-41;

5) Профессор Борис Лукич Лаптев (глазами учеников и друзей). – Казань: Изд-во Казанск. ун-та. – 1992. – 107 с.