Математики: Для моделирования рождения планет или прионных болезней теперь достаточно ноутбука
Международная коллаборация учёных при ведущей роли сотрудников факультета ВМК МГУ разработала программные алгоритмы, позволяющие решать системы из миллионов кинетических уравнений агрегации на обычных ноутбуках в течение нескольких минут. Ранее подобные расчёты требовали вычислительные мощности суперкомпьютеров. Используя новые алгоритмы, учёные также исследовали модель агрегации и дробления вещества, которую планируют использовать для анализа качества нефти. . Исследователи готовят к выходу ещё ряд публикаций в авторитетных научных изданиях.
Схематическое изображение модели агрегации и дробления вещества
© Сергей Матвеев
Процессы слияния и дробления огромного числа хаотически движущихся частиц можно описать системой уравнений типа Смолуховского. При этом под частицами можно понимать почти что угодно: сейчас с помощью уравнений Смолуховского описывают как поведение частиц в кольцах Сатурна, белки-прионы при моделировании развития прионных болезней мозга, или даже подписчиков в социальных сетях. Чем сложнее система, тем больше уравнений будет она включать.
Большинство естественных систем — будь то аэрозоли в атмосфере или коллоидные частицы в растворах — описываются системами из миллионов нелинейных уравнений. Для поиска их решений часто применяют простые в использовании и достаточно наглядные стохастические методы. Однако эти методы имеют ряд недостатков: сложности при обосновании сходимости и низкое качество приближения полных распределений частиц по размерам из гистограмм. Кроме того, для применения стохастических методов относительно сложных систем, состоящих из большого числа уравнений, необходимо привлекать огромные вычислительные мощности, которые на сегодняшний день способны выдавать лишь суперкомпьютеры.
«Уравнения Смолуховского описывают образование составных частиц при столкновении нескольких d исходных частиц. Размеры частиц варьируются в диапазоне от единицы до N. Значение N может достигать величин порядка миллиарда. При численном решении уравнений для вычисления интеграла используются сеточный метод или метод Монте-Карло. Вычисление интеграла на сетке классическими методами требуется N^d арифметических действий. Такое огромное число действий невозможно выполнить даже на самых мощных суперкомпьютерах, — уточняет один из авторов исследования, доцент кафедры автоматизации научных исследований факультета ВМК Александр Смирнов. — Метод Монте-Карло позволяет вычислять многомерные интегралы, однако, он не дает достичь высокой точности. Разработанный новый сеточный метод на основе малоранговых разложений многомерных матриц и быстрых методов вычислительной алгебры позволяет решать уравнения за порядка N действий».
Международный коллектив учёных под руководством сотрудников МГУ имени М.В. Ломоносова использовал численные методы на основе матриц малого ранга и быстрых алгоритмов линейной алгебры и с их помощью разработал новые подходы к решению уравнений Смолуховского.
«Разработанная нами методика позволяет в десятки раз ускорить получение решений рассматриваемой задачи и решать системы из миллионов уравнений за несколько минут на обычных ноутбуках. С использованием новых алгоритмов построен новый класс самоподобных решений для модели агрегации и дробления вещества», — рассказывает один из авторов исследования, выпускник факультета ВМК МГУ, научный сотрудник Сколтеха Сергей Матвеев.
Предложенный исследователями алгоритм имеет крайне широкое применение. Ранее учёные использовали чуть более упрощенную версию модели алгоритмов для описания распределений частиц по размерам в кольцах Сатурна. Сравнение с данными миссии Вояджер показало, что точность полученной математической модели достаточно велика и модель адекватно описывает реальные процессы. Алгоритм можно также применить для описания процессов горения, полимеризации, роста кристаллов, седиментации нефти, образования планет, распространения аэрозольных примесей в атмосфере.
Сейчас учёные планируют сосредоточиться на применении подходов для предсказания распределений тяжелых асфальтеновых частиц в нефти. Нефть содержит множество органических соединений, наиболее тяжелые из которых — асфальтеновые частицы — обуславливают вязкость нефти. Вязкость сырья зависит как от концентрации асфальтеновых частиц, так и их агрегированности. Нефть с высоким содержанием асфальтенов требует дополнительных расходов при добыче, транспортировке и перегонке. При низкой концентрации асфальтены могут выпадать в осадок и закупоривать скважины. Математические алгоритмы могут помочь предсказать образование крупных асфальтеновых агрегатов в сырье из конкретного места, что важно для оценки качества нефти.
Исследование проходило под руководством сотрудников факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова. В работе также принимали участие сотрудники Сколковского института науки и технологий, Института вычислительной математики имени Г.И. Марчука РАН, Математического института Ченнаи (Индия), Института естественных и гуманитарных наук в Сельдце (Польша) и Лестерского университета (Великобритания).
Основные результаты работы учёных опубликованы в одном из ведущих международных журналов по вычислительной физике Journal of Computational Physics
Источник: scientificrussia.ru
