Математическое моделирование задачи двухфазной фильтрации в неоднородных трещиновато-пористых средах с использованием модели двойной пористости и метода конечных элементов
В.И. Васильев, А.В. Григорьев, Г.А. Прокопьев
Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова, г. Якутск, 677000, Россия
Аннотация
В работе проводится численное моделирование задач двухфазной фильтрации в трещиновато-пористых средах с использованием модели двойной пористости с сильно неоднородным коэффициентом проницаемости. Приводится система уравнений для случая двухфазной фильтрации без учета капиллярных и гравитационных сил, которая представляет собой связанную систему уравнений для давления и насыщенности в пористой среде имеющей систему трещин. Рассматриваются различные варианты задания функций перетока между пористой средой и трещинами. Численная реализация для аппроксимации скорости и давления строится на основе метода конечных элементов. Для дискретизации уравнения насыщенности посредством метода введения искусственной диффузии используется классический метод Галеркина с противопотоковой аппроксимацией. Приводятся результаты численных расчетов для модельной задачи с использованием различных функций перетока.
Ключевые слова: двухфазная фильтрация, неоднородные среды, трещиновато-пористые среды, модель двойной пористости, функции перетока, метод конечных элементов, численная стабилизация
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 17-01-00732) (В.И. Васильев: теория, постановка задачи), Мегагранта правительства РФ N 14.Y26.31.0013 (М.В. Васильева: численный алгоритм; Г.А. Прокопьев: реализация нелинейного случая), а также РНФ (проект № 17-71-10106) (А.В. Григорьев: реализация линейного случая, эксперименты).
Литература
1. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. матем. и механика. – 1960. – Т. 24, Вып. 5. – С. 852–864.
2. Bourgeat A. Homogenized behavior of two-phase flows in naturally fractured reservoirs with uniform fractures distribution // Comp. Methods Appl. Mech. Eng. – 1984. – V. 47, No 1. – P. 205–216.
3. Arbogast T., Douglas Jr. J., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. Math. Anal. – 1990. – V. 21, No 4. – P. 823–836.
4. Gwo J.P., Jardine P.M., Wilson G.V., Yeh G.T. A multiple-pore-region concept to modeling mass transfer in subsurface media // J. Hydrol. – 1995. – V. 164, No 1. – P. 217–237.
5. Kalinkin A.A., Laevsky Y.M. Mathematical model of water-oil displacement in fractured porous medium // Sib. Electron. Math. Rep. – 2015. – V. 12. – P. 743–751.
6. Васильева М.В., Васильев В.И., Тимофеева Т.С. Численное решение методом конечных элементов задач диффузионного и конвективного переноса в сильно гетерогенных пористых средах // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2016. – Т. 158, кн. 2. – C. 243–261.
7. Васильева М.В., Васильев В.И., Красников А.А., Никифоров Д.Я. Численное моделирование течения однофазной жидкости в трещиноватых пористых средах // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 1. – C. 100–115.
8. Ginting V., Pereira F., Presho M., Wo S. Application of the two-stage Markov chain Monte Carlo method for characterization of fractured reservoirs using a surrogate flow model // Comput. Geosci. – 2011. – V. 15, No 4. – P. 691–707. – doi: 10.1007/s10596-011-9236-4.
9. Salimi H., Bruining J. Improved prediction of oil recovery from waterflooded fractured reservoirs using homogenization // SPE Reservoir Eval. Eng. – 2010. – V. 13, No 1. – P. 44–55. – doi: 10.2118/115361-PA.
10. Вабищевич П.Н., Григорьев А.В. Численное моделирование фильтрации флюида в анизотропной трещиновато-пористой среде // Сиб. журн. вычисл. матем. – 2016. – Т. 19, № 1. – С. 61–74.
11. Warren J.E., Root P.J. The behavior of naturally fractured reservoirs // Soc. Pet. Eng. J. – 1963. – V. 3, No 3. – P. 245–255. – doi: 10.2118/426-PA.
12. Kazemi H., Merrill L.S. Jr., Porterfield K.L., Zeman P.R. Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs // Soc. Pet. Eng. J. – 1976. – V. 16, No 6. – P. 317–326. – doi: 10.2118/5719-PA.
13. Douglas J. Jr., Arbogast T., Paes-Leme P.J., Hensley J.L., Nunes N.P. Immiscible displacement in vertically fractured reservoirs // Transp. Porous Media. – 1993. – V. 12, No 1. – P. 73–106. – doi: 10.1007/BF00616363.
14. Karimi-Fard M., Durlofsky L.J., Aziz K. An efficient discrete fracture model applicable for general purpose reservoir simulators // SPE Reservoir Simul. Symp. – Soc. Petr. Eng., 2003. – Art. 79699, P. 1–11. – doi 10.2118/79699-MS.
15. Efendiev Y., Lee S., Li G., Yao J., Zhang N. Hierarchical multiscale modeling for flows in fractured media using generalized multiscale finite element method // Int. J. Geomath. – 2015. – V. 6, No 2. – P. 141–162. – doi: 10.1007/s13137-015-0075-7.
16. Akkutlu I.Y., Efendiev Y., Vasilyeva M.V. Multiscale model reduction for shale gas transport in fractured media // Comput. Geosci. – 2016. – V. 20, No 5. – P. 953–973. – doi: 10.1007/s10596-016-9571-6.
17. Karimi-Fard M., Gong B., Durlofsky L.J. Generation of coarse-scale continuum flow models from detailed fracture characterizations // Water Resour. Res. – 2006. – V. 42, No 10. – Art. W10423, P. 1–13. – doi: 10.1029/2006WR005015.
18. Gong B., Karimi-Fard M., Durlofsky L.J. Upscaling discrete fracture characterizations to dual-porosity, dual-permeability models for efficient simulation of flow with strong gravitational effects // SPE J. – 2008. – V. 13, No 1. – P. 58–67. – doi: 10.2118/102491-PA.
19. Lee S.H., Jensen C.L., Lough M.F. Efficient finite-difference model for flow in a reservoir with multiple length-scale fractures // SPE J. – 2000. – V. 5, No 3. – P. 1–11. – doi: 10.2118/65095-PA.
20. Li L., Lee S.H. Efficient field-scale simulation of black oil in a naturally fractured reservoir through discrete fracture networks and homogenized media // SPE Reservoir Eval. Eng. – 2008. – V. 11, No 4. – P. 750–758. – doi: 10.2118/103901-PA.
21. Donea J., Huerta A. Finite Element Methods for Flow Problems. – John Wiley & Sons, 2003. – xii, 350 p. – doi: 10.1002/0470013826.
Поступила в редакцию
18.12.17
Васильев Василий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедры «Вычислительные технологии»
Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия
E-mail: vasvasil@mail.ru
Васильева Мария Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент-исследователь кафедры «Вычислительные технологии»
Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия
E-mail: vasilyevadotmdotv@gmail.com
Григорьев Александр Виссарионович, кандидат физико-математических наук, доцент-исследователь кафедры «Вычислительные технологии»
Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия
E-mail: re5itsme@gmail.com
Прокопьев Григорий Анатольевич, аспирант кафедры «Вычислительные технологии»
Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова
ул. Белинского, д. 58, г. Якутск, 677000, Россия
E-mail: dju92@mail.ru
Для цитирования: Васильев В.И., Васильева М.В., Григорьев А.В., Прокопьев Г.А. Математическое моделирование задачи двухфазной фильтрации в неоднородных трещиновато-пористых средах с использованием модели двойной пористости и метода конечных элементов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2018. – Т. 160, кн. 1. – С. 165–182.
For citation: Vasilyev V.I., Vasilyeva M.V., Grigorev A.V., Prokopiev G.A. Mathematical modeling of the two-phase fluid flow in inhomogeneous fractured porous media using the double porosity model and finite element method. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 160, no. 1, pp. 165–182. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.
