Математическая модель помогла определить устойчивость веревочных узлов

Массачусетский технологический университет

Математики и инженеры Массачусетского технологического института разработали математическую модель, которая предсказывает, насколько устойчивым является узел, основываясь на нескольких его ключевых свойствах. Статья об этом была опубликована в журнале Science.

В парусном спорте, скалолазании, строительстве и любой деятельности, требующей крепления канатов, используются узлы. Но, как известно, одни из них крепче других. Любой опытный моряк знает, что, например, один тип узла закрепит главный парус, в то время как другой лучше подходит для привязывания лодки к причалу. Но что именно делает один узел прочнее других, до сих пор не было понятно.

Математиков давно заинтриговали узлы, причем настолько, что вдохновили целую область топологии, известную как теория узлов — изучение теоретических узлов, концы которых, в отличие от реальных, соединены, и образуют непрерывную структуру. В теории узлов математики стремятся описать узел в математических терминах, а также найти все способы, которыми он может быть скручен или деформирован, сохраняя при этом свою топологию.

В начале своей работы исследователи из Массачусетского технологического института использовали волокна для завязывания различных узлов. Нити изменя Ученые фотографировали каждый из них, отмечая силу, приложенную к волокну при натяжении. Цветовая маркировка веревок, из которых изготовлялись узлы, позволила ученым ввести в модель еще одну переменную — механические свойства материалов волокон.

Исследователи использовали данные этих экспериментов для калибровки модели, которую группа ранее создала для описания узлов из других типов волокон. В новой модели исследователи описали поведение веревок, рассматривая каждую нить как цепь небольших связанных друг с другом шариков. Способ изгиба и деформации каждой пружины может быть рассчитан на основе силы, приложенной к каждой отдельной части системы.

Затем авторы составили цветовую карту, основанную на экспериментах, которая соотносит цвет волокна с приложенным к нему давлением. Ученые включили эту карту в ранее созданную модель, а затем использовали ее для моделирования тех же узлов. Когда авторы работы сравнили узлы в экспериментах с их аналогиями в симуляциях, они обнаружили, что рисунок цветов в обоих узлах был практически одинаковым — признак того, что модель точно имитировала распределение напряжений в системе.

Исследователи сформулировали свод правил, с помощью которых можно определить силу узлов. Принимая их во внимание, команда смогла объяснить, почему рифовый узел, например, сильнее, чем бабий узел. Они почти идентичны, но рифовый узел имеет более высокое число колебаний кручения, что делает его более стабильной конфигурацией. Аналогичным образом кунгурский узел оказывается очень сильным, хотя его и труднее развязать, чем альпийскую бабочку — узел, который обычно используется в альпинизме.