Как математика помогла понять ВИЧ и СПИД. Отрывок из книги "Бесконечная сила"
В издательстве "Манн, Иванов и Фербер" выходит книга математика Стивена Строгаца. ТАСС публикует отрывок о расчетах, которые позволили разобраться, что происходит в организме при ВИЧ-инфекции, и разработать эффективную терапию.
"Бесконечная сила" не учебник или монография, а научно-популярная книга. Но поскольку в ней говорится о математическом анализе, совсем уж доступной ее не назовешь. В приведенном отрывке тоже в какой-то момент появляются уравнения — пусть это не смущает. Даже если непонятно, как получился тот или иной результат, Стивен Строгац понятно объясняет, в чем этот результат заключается и почему он важен. А результаты действительно поразительные: с помощью математики ученые смогли взять ВИЧ, чуму XX века, под контроль."
В 1980-х годах десятки тысяч жизней в США и сотни тысяч по всему миру стала уносить загадочная болезнь. Никто не знал, что это, откуда она взялась и что ее вызывает, но ее воздействие было явным — она настолько ослабляла иммунную систему больных, что они оказывались уязвимы для редких видов рака, пневмонии и оппортунистических инфекций. Смерть от болезни была медленной, мучительной и уродливой. Врачи назвали болезнь синдромом приобретенного иммунодефицита, или СПИДом. Больные и врачи были в отчаянии. Никакого лекарства не просматривалось.
Первые исследования показали, что виноват ретровирус. Механизм его действия был коварен: вирус атаковал и инфицировал белые кровяные тельца, называемые T-хелперами, — ключевой компонент иммунной системы. Оказавшись внутри, вирус захватывал генетический аппарат клетки и заставлял его создавать новые вирусы. Затем эти новые вирусные частицы выходили из клетки, попадали в кровоток и прочие жидкости организма и искали новые клетки для заражения. Иммунная система реагировала на это вторжение попыткой вычистить вирусные частицы из крови и убить как можно больше зараженных T-лимфоцитов, но при этом убивала важную часть самой себя.
Первый антиретровирусный препарат для лечения ВИЧ появился в 1987 году. Хотя он и замедлял ВИЧ, мешая процессу вторжения, он не демонстрировал ожидаемой эффективности и вирус часто приобретал устойчивость к нему. В 1994 году появился другой класс препаратов — ингибиторы протеазы. Они препятствовали ВИЧ, внедряясь во вновь образованные вирусные частицы, мешая их созреванию и превращая их в незаразные. Хотя ингибиторы протеазы также не были панацеей, они оказались настоящей находкой.
Вскоре после появления ингибиторов протеазы группа исследователей под руководством доктора Дэвида Хо (ранее учился физике в Калифорнийском технологическом институте, поэтому, вероятно, хорошо знаком с анализом) и специалиста по математической иммунологии Алана Перельсона провела исследование, которое изменило взгляды врачей на ВИЧ и произвело настоящую революцию в методах лечения болезни. До работы Хо и Перельсона было известно, что нелеченая ВИЧ-инфекция, как правило, проходит три стадии: первичная острая стадия продолжительностью несколько недель, хроническая и парадоксально бессимптомная стадия длительностью до десяти лет и терминальная стадия СПИДа.
На первой стадии вскоре после заражения ВИЧ у человека появляются симптомы, сходные с гриппозными: лихорадка, сыпь, головная боль, а количество T-хелперов (также известных как CD4-клетки) в крови резко падает. Нормальное количество T-лимфоцитов составляет около 1000 клеток на кубический миллиметр крови; после первичного заражения ВИЧ их число падает до нескольких сотен. Поскольку T-лимфоциты помогают организму бороться с инфекцией, их уменьшение серьезно ослабляет иммунную систему. Между тем количество вирусных частиц в крови (известное как вирусная нагрузка) резко возрастает, а затем, когда иммунная система начинает борьбу с ВИЧ-инфекцией, падает. Гриппозные симптомы пропадают, больному становится лучше.
В конце первой стадии вирусная нагрузка стабилизируется на определенном уровне, который, как ни странно, может поддерживаться годами. Врачи называют этот уровень точкой отсчета. Пациент без лечения может прожить десяток лет без ВИЧ-симптомов, а данные лабораторных исследований ничего не покажут, кроме постоянной вирусной нагрузки и низкого, постепенно падающего количества T-лимфоцитов. Однако в итоге бессимптомная стадия заканчивается и начинается СПИД, для которого характерно дальнейшее снижение количества T-лимфоцитов и резкое повышение вирусной нагрузки. Как только у нелеченого больного развивается полномасштабный СПИД, оппортунистические инфекции, рак и иные осложнения обычно приводят к его смерти за два-три года.
Ключ к разгадке тайны находился в длительной бессимптомной стадии. Что происходит в это время? Спит ли ВИЧ в организме? Другие вирусы, как известно, впадают в спячку. Например, вирус генитального герпеса скрывается в нервных узлах, чтобы ускользнуть от иммунной системы. Вирус ветряной оспы делает то же самое, годами скрываясь в нервных клетках, но иногда просыпаясь и вызывая опоясывающий лишай. Причина латентности ВИЧ была неизвестна, однако Хо и Перельсон ее выяснили.
В ходе исследования 1995 года они давали больным ингибитор протеазы не в качестве лечения, а для сбора сведений. Прием препарата провоцировал активную реакцию организма пациента, что и позволило Хо и Перельсону — впервые в истории — отследить динамику иммунной системы в борьбе с ВИЧ. Они обнаружили, что после приема ингибитора протеазы количество вирусных частиц в организме больного падало экспоненциально быстро. Скорость снижения была невероятной: иммунная система каждые два дня выводила половину всех вирусных частиц в кровотоке.
Дифференциальное исчисление позволило Хо и Перельсону смоделировать это экспоненциальное снижение и извлечь из него удивительные следствия. Сначала они представили изменяющуюся концентрацию вируса в крови как неизвестную функцию V(t), где t — время после введения ингибитора протеазы. Затем они выдвинули гипотезу об изменении концентрации вируса dV за бесконечно малый интервал времени dt. Их данные указывали на то, что каждый день из крови удаляется постоянная доля вируса, так что, возможно, это свойство сохранится и при экстраполяции на бесконечно малые интервалы dt. Поскольку величина dV / V — это относительное изменение концентрации вируса, их модель можно было записать символами в виде такого уравнения:
dV / V = –c dt.
Здесь коэффициент пропорциональности c — это скорость выведения, мера того, насколько быстро организм избавляется от вируса.
Приведенное уравнение — пример дифференциального уравнения. Оно связывает дифференциал функции dV с самой функцией V, а также с дифференциалом dt времени. Проинтегрировав обе части с помощью основной теоремы, Перельсон и Хо решили его относительно V(t) и обнаружили, что справедливо соотношение
ln[V(t) / V0] = – ct,
где V0 — первоначальная вирусная нагрузка, а ln — натуральный логарифм (та самая логарифмическая функция, которую изучали Ньютон и Меркатор в 1660-е годы). Отсюда можно найти, что
V(t) = V0e–ct,
где e — основание натуральных логарифмов. Это подтверждало, что вирусная нагрузка в модели действительно снижалась экспоненциально. Наконец, подобрав экспоненту в соответствии с экспериментальными данными, Хо и Перельсон оценили ранее неизвестное значение скорости выведения c.
Для тех, кто предпочитает использовать производные, уравнение модели можно записать так:
dV / dt = – cV.
Здесь dV / dt — это производная V. Она показывает, насколько быстро растет или падает концентрация вируса. Положительное значение производной означает повышение, отрицательное — снижение. Поскольку концентрация V положительна, величина – cV должна быть отрицательной, поэтому и производная должна быть отрицательной, что означает снижение концентрации, как и показал эксперимент. Кроме того, пропорциональность между dV / dt и V означает, что чем ближе V к нулю, тем медленнее спад. На интуитивном уровне это замедление спада V подобно тому, что происходит, когда вы наполняете раковину водой, а затем открываете сток. Чем меньше воды в раковине, тем медленнее она стекает, поскольку уменьшается давление воды, заставляющее ее течь. При такой аналогии количество вируса подобно количеству воды, а стекание — оттоку вируса в результате работы иммунной системы.
Смоделировав действие ингибитора протеазы, Перельсон и Хо скорректировали свое уравнение, чтобы описать условия до введения препарата. Они предположили, что уравнение будет иметь вид
dV / dt = P – cV.
В этом уравнении P означает исходный (не замедленный) темп репродукции вирусных частиц — еще один параметр, неизвестный в то время. Перельсон и Хо предполагали, что до введения ингибитора протеазы в каждый момент зараженные клетки продуцировали новые вирусные частицы, которые потом заражали новые клетки, и так далее. Именно возможность такого взрывного распространения и делает ВИЧ настолько разрушительным.
Однако на бессимптомной стадии, похоже, существует некое равновесие между воспроизводством вируса и его выведением иммунной системой. На этом установившемся уровне вирус размножается с такой же скоростью, как и выводится. Это позволило понять, почему вирусная нагрузка может не меняться годами. В аналогии с водой это подобно происходящему при одновременном открытии и крана, и стока. Вода достигает стабильного уровня, когда поступление жидкости равно ее оттоку.
Если на некотором уровне концентрация вируса не меняется, то ее производная должна быть равна нулю: dV / dt = 0. Следовательно, стабильная вирусная нагрузка удовлетворяет соотношению
P = cV0.
Перельсон и Хо использовали это простое уравнение, чтобы оценить жизненно важный параметр, который никто не мог измерить ранее: количество вирусных частиц, ежедневно удаляемых иммунной системой. Оказалось, что эта величина — миллиард вирусных частиц в день.
Число получилось неожиданно огромным и впечатляющим. Оно указывало на то, что во внешне, казалось бы, спокойные десять лет бессимптомной стадии в организме больного ежедневно происходит титаническая борьба. Каждый день иммунная система выводит миллиард вирусных частиц, а зараженные клетки порождают миллиард новых. Иммунная система вела яростную тотальную войну с вирусом и боролась с ним практически до полной остановки.
В 1996 году Хо, Перельсон и их коллеги провели полномасштабное исследование, чтобы лучше понять, что они, возможно, упустили в 1995 году. На этот раз они собирали сведения о вирусной нагрузке через более короткие интервалы времени после введения ингибитора протеазы, поскольку хотели получить больше информации о начальном запаздывании, которое наблюдалось при поглощении, распределении и проникновении препарата в клетки-мишени. После введения препарата исследователи измеряли вирусную нагрузку пациентов каждые два часа в течение шести часов, затем каждые шесть часов в течение двух суток, а потом один раз в день в течение недели. Перельсон усовершенствовал модель с дифференциальным уравнением, чтобы учесть запаздывание и отследить динамику еще одной важной переменной — изменяющегося количества зараженных T-лимфоцитов.
Когда ученые заново провели эксперимент, сравнили данные и прогнозы модели и снова оценили параметры, они получили еще более ошеломляющий результат: каждый день производилось и выводилось из организма десять миллиардов вирусных частиц. Более того, было обнаружено, что инфицированные Т-лимфоциты живут всего пару дней. Удивительно короткая продолжительность жизни добавила еще один кусочек головоломки с учетом того, что как раз падение числа Т-лимфоцитов — отличительный признак ВИЧ-инфекции и СПИДа.
Открытие, что репликация ВИЧ происходит настолько ошеломляюще быстро, изменило сам подход врачей к лечению ВИЧ-положительных пациентов. До работы Хо и Перельсона врачи ждали, пока ВИЧ выйдет из предполагаемой спячки, прежде чем назначать противовирусные препараты. Считалось, что это позволяет беречь силы до тех пор, пока иммунная система не станет по-настоящему нуждаться в помощи, поскольку вирус часто становился устойчивым к действию лекарств, а тогда уже ничего не могло помочь. Поэтому обычно склонялись к мнению, что разумнее подождать, пока заболевание продлится достаточно долго.
Работа Хо и Перельсона в корне изменила эту точку зрения. Спячки не было. ВИЧ и организм ежесекундно сцеплялись в отчаянной схватке, и иммунная система нуждалась в любой возможной помощи, причем как можно скорее после критичных первых дней заражения. И теперь было понятно, почему ни одно лекарство не действовало долго. Вирус воспроизводился так быстро и мутировал с такой скоростью, что мог найти способ противостоять практически любому медицинскому препарату.
Математика Перельсона помогла количественно оценить, сколько лекарств нужно использовать в комбинации, чтобы подавить и победить ВИЧ. Учитывая измеренную скорость мутации ВИЧ, величину его генома и только что полученную оценку для ежедневно продуцируемых вирусных частиц, он математически показал, что ВИЧ много раз в день генерирует все возможные мутации на всех основаниях генома. Поскольку даже одна мутация может вызвать резистентность к лекарству, на успех лечения одним препаратом надежды было мало. У двух препаратов, введенных одновременно, шансов было больше, однако расчеты Перельсона показывали, что каждый день происходила и значительная доля двойных мутаций. А вот комбинацию из трех препаратов вирусу одолеть было бы трудно. Согласно математическим расчетам, шансы на то, что вирус сможет одновременно подвергнуться трем мутациям, чтобы противостоять комбинированной терапии из трех лекарств, составляли примерно 10 миллионов к одному. Когда Хо и его коллеги в клинических исследованиях протестировали коктейль из трех препаратов на ВИЧ- инфицированных пациентах, результаты оказались замечательными. Уровень вируса в крови падал вдвое каждые две недели и после следующего месяца уже не выявлялся.
Это не означало, что ВИЧ исчез. Последующие эксперименты показали, что вирус может агрессивно восстанавливаться, если пациенты сделают перерыв в лечении. Проблема в том, что ВИЧ может скрываться в различных частях тела. Он может находиться в небольшом количестве в тайных местах, куда лекарствам нелегко проникнуть, или залегать в латентно инфицированных клетках и покоиться, не воспроизводя себя, — хитрый способ избежать действия препаратов. В любой момент эти спящие клетки могут проснуться и начать атаковать организм. Вот почему так важно, чтобы ВИЧ-инфицированные больные продолжали принимать лекарства даже тогда, когда вирусная нагрузка невелика или не обнаруживается.
И хотя тройная комбинированная терапия не может устранить ВИЧ, она превращает его в хроническое заболевание, с которым можно справиться — по крайней мере тем, у кого есть доступ к лечению. Это дало надежду там, где ее практически не было.
