Научная школа по теории функций
Исследования по теории функций начались с первых лет основания Казанского университета. Еще Н.И.Лобачевский занимался некоторыми вопросами, связанными с методами решения различных видов уравнений, в том числе приближенными. В частности, он дал впервые "определение" понятия функции, которое используется в современной математике.
В XX веке развитие теории функций в Казани связано в именем Б.М.Гагаева, который внес существенный вклад в теорию полианалитических функций, дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, функциональный анализ. Он доказал, что тригонометрическая система функций - единственная система ортогональных функций, дифференцирование и интегрирование которой приводит опять (с точностью до постоянных множителей) к этой же системе функций. Среди его учеников - профессора Ф.Д.Гахов, Я.В.Быков, Ю.Г.Борисович, К.С.Сибирский, В.Н.Монахов, Б.Г.Габдулхаев, А.Д.Ляшко и др.
Под влиянием Ф.Д.Гахова и казанских механиков, прежде всего Г.Г.Тумашева и М.Т.Нужина, с конца 40-х годов прошлого столетия в Казанском университете начинаются исследования по теории аналитических функций, особое место занимают краевые и обратные краевые задачи для аналитических функций и их обобщений, сингулярные интегральные уравнения. Организуется крупный городской научный семинар по краевым задачам. Сам Ф.Д.Гахов впервые дал исчерпывающее решение классических краевых задач Римана и Гильберта в случае одного гладкого контура, исследовал вместе с учениками различные их обобщения.
Л.И.Чибрикова решила краевую задачу Римана в классе автоморфных функций, изучала также краевые задачи для дифференциальных уравнений эллиптического и смешанного типов. Ю.М.Крикунов занимался изучением граничных задач для дифференциальных уравнений смешанного типа, в том числе с сильным вырождением. В.И.Жегалов, рассмотрел так называемые нелокальные краевые задачи, обобщающие задачи Трикоми, Геллерстедта, Франкля и др., исследовал ряд многомерных дифференциальных уравнений, разработал для них новый вариант классического метода Римана. И.А.Бикчантаевым построена нетерова теория основных краевых задач для аналитических функций, на произвольных некомпактных римановых поверхностях. Ю.В.Обносовым были разработаны методы комплексного анализа в применении к широкому кругу прикладных задач теории гетерогенных сред. Б.А.Кац дал решение краевой задачи Римана на неспрямляемых кривых достаточно произвольного вида. Ф.Н.Гарифьянов с помощью теории краевых задач исследовал проблему моментов для целых функций экспоненциального типа, построил представляющие системы и изучил разностные уравнения в некоторых плоских областях.
Л.А.Аксентьев исследовал однолистность решений обратных краевых задач, единственность решений уравнений Гахова для внешней обратной краевой задачи. Ф.Г.Авхадиев построил теорию допустимых функционалов в достаточных условиях однолистности аналитических функций и их обобщений, решил ряд классических изопериметрических проблем, в частности известную задачу Сен-Венана. С.Р.Насыров решил обобщенную задачу Левнера-Хопфа о построении разветвленных накрытий компактных римановых поверхностей с заданной проекцией края. А.М.Елизаров преложил метод квазирешений в обратных краевых задачах, позволивший исследовать многие классы прикладных задач механики, не имеющих точного решения.
Б.Г.Габдулхаевым и его учениками построены и теоретически обоснованы приближенные методы решения ряда сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Решена проблема академика А.Н.Тихонова о саморегуляризации (в том числе оптимальной конечномерной саморегуляризации) некорректно поставленных задач, описываемых различными интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями.
С конца 60-х гг. XX века в КГУ начинаются активные исследования в области функционального анализа. А.Н.Шерстневым с учениками (Н.В.Трунов, О.Е.Тихонов, А.М.Бикчентаев и др.) решена проблема распространения некоммутативной теории интегрирования И.Сигала на нормальные веса. М.С.Матвейчук получил решение проблемы продолжения меры на проекторах алгебры фон Неймана до линейного функционала. Д.Х.Муштари развил топологические методы исследования свойств слабой компактности и σ-аддитивности цилиндрических вероятностей в банаховых пространствах.
