Геометрическая школа

Основоположником казанской геометрической школы является гениальный творец неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский (1792-1856).

Н.И.Лобачевский решил проблему аксиомы Евклида о параллельных прямых, над которой в течение двух тысячелетий неустанно трудились геометры всех стран и народов, установив, что эта аксиома не может быть следствием других основных положений геометрии.

Лобачевский же своими аксиоматическими исследованиями доказал, что аксиома постепенно охватила почти все разделы математики. Его открытие разрушило догматическое представление о том, что система Евклида является единственно возможной, и привело к возникновению многочисленных и разнообразных неевклидовых геометрий.

Это способствовало расширению возможностей приложения геометрии к другим разделам математики и физики, что подготовило почву для переворота взглядов современного естествознания на пространство и время. Всеобщее признание идей Лобачевского в конце 60-х годов XIX столетия привлекло внимание математиков к вопросам оснований геометрии и, в частности, к замечательному мемуару Б.Римана "О гипотезах, лежащих в основе геометрии", в котором он подводил к вопросу о неевклидовой геометрии с дифференциально-геометрической точки зрения.

Одним из первых геометров, положивших начало творческому развитию идей Римана, был Ф.М.Суворов, который в своей работе "О системах трех измерений" (1871) находит полную систему дифференциальных инвариантов второго порядка трехмерного пространства Римана, отмечая его связь с пространством Лобачевского.

А.В.Васильев, возглавлявший в 1884-1907 годы физико-математическое общество Казанского университета, провел большую работу по распространению идей Лобачевского, составил первую научную биографию великого геометра, способствовал учреждению международной премии имени Лобачевского и сооружению последнему памятника. Из учеников А.В.Васильева в университете работали: А.П.Котельников, Д.М.Синцов, И.Н.Парфентьев, Е. И. Григорьев.

А.П.Котельников установил связь геометрии Лобачевского с проективной геометрией, механикой, теорией векторов комплексных чисел.

Д.Н.Зейлигер использовал открытия Котельникова для изложения некоторых вопросов линейчатой геометрии.

П.А.Широков, посвятив свои первые работы геометрии Лобачевского, одним из первых в СССР переходит к изучению римановых пространств методами тензорного анализа. При этом он обращает особое внимание на изучение пространств, наиболее близких по своей геометрии к пространствам Лобачевского:

пространств Когана-Шура-Широкова (А-пространств) и специальных классов симметрических пространств Картана, имеющих существенное значение для алгебры. П.А.Широков воспитал целый ряд ученых-геометров, среди которых - Б.Л.Лаптев, И.П.Егоров, А.3.Петров, П.И.Петров.

Переехав в Казань из Москвы в 1945 году, А.П.Норден продолжал развивать свой метод нормализации, распространив его на многомерные пространства, применяя к геометриям подгрупп проективной группы, к линейчатой и конформной геометриям, к теории сетей. Часть работ Александра Петровича Нордена посвящена приложению геометрии биаксиальных и биаффинных пространств к вопросам теории функций комплексных переменных, к изучению линейчатой геометрии, битензоров пространства Лоренца, специальных типов римановых пространств и пространств аффинной связности. А.П.Норденом были воспитаны будущие доктора наук В.И.Ведерников, Р.Г.Бухараев, А.П.Широков, В.И.Шуликовский, В.В.Вишневский.

А.З.Петров занимался приложением геометрических методов к исследованиям в области теоретической физики, к теории физических полей. Он дал классификацию четырехмерных пространств Эйнштейна лоренцевой сигнатуры, а также установил классификацию полей тяготения общего вида в соответствии с алгебраической структурой тензора кривизны пространства-времени.

Б.Л.Лаптев создал общую теорию пространств опорных элементов. Глубоко разработав аппарат дифференцирования Ли в этих пространствах, он применил его к решению вариационных задач, к нахождению групп автоморфизмов дифференциально-геометрических структур. Значительную часть своих исследований Б.Л.Лаптев посвятил изучению жизни и творческого наследия Н.И.Лобачевского, истории математики в Казанском университете.

В работах А.П.Широкова и его учеников развивались различные аспекты теории пространств над алгебрами, их многочисленных приложений к линейчатой геометрии, геометрии неевклидовых пространств, к теории касательных расслоений как первого, так и высших порядков.

В.И.Шуликовский внес существенный вклад в развитие теории сетей. В.В.Вишневский провел исследование пространств с аффинорными структурами общего вида в тесной связи с алгеброй плюральных чисел, занимался изучением полукасательных расслоений, которые моделируют многообразия с аффинорной структурой общего вида.

Б.Н.Шапуков развил общую теорию линейных связностей и дифференцирования Ли на тотальных пространствах гладких расслоений, исследовал некоторые структуры, естественным образом возникающие на расслоенных многообразиях.

В.В.Шурыгин провел исследование геометрии и топологии расслоений А-струй А.Вейля как многообразий над алгеброй. В терминах теории когомологий он построил препятствия (классы Атьи-Молино) для существования некоторых дифференциально-геометрических структур на указанных расслоениях.

В трудах А.В.Аминовой и В.Р.Кайгородова развит инвариантно-групповой подход к построению геометрической теории, групповой подход к построению геометрической теории дифференциальных уравнений.