Алгебраическая школа
В Казанском университете первые значительные исследования по алгебре проводились великим русским математиком Н.И.Лобачевским (1792-1856). Ему, в частности, принадлежит один из распространенных способов приближенного вычисления корней алгебраического уравнения. Этот способ изложен в его книге "Алгебра", вышедшей в 1834 году.
Основателем казанской алгебраической школы, получившей в 40-е годы мировую известность, является выдающийся алгебраист Николай Григорьевич Чеботарев (1894-1947), работавший в Казанском университете с 1928 по 1947 год. В 1934 году усилиями Н.Г.Чеботарева в Казанском университете открывается кафедра алгебры и создается Научно-исследовательский институт математики и механики, ныне носящий его имя.
В этот период Н.Г.Чеботаревым и его учениками В.В.Морозовым, И.Д.Адо, Н.Н.Мейманом и другими проводятся глубокие исследования по теории Галуа, теории алгебраических чисел, групп Ли, продолжаемых полиномов и проблеме резольвент.
Н.Г.Чеботаревым получены крупные результаты во многих областях алгебры. В теории Галуа им определена структура абсолютной группы Галуа полей классов и установлены ограничения, наложенные на простые делители числа классов. В теории групп Ли Н.Г.Чеботарев дал доказательство высказанного еще в 1894 году Картаном предположения, что подгруппы простых групп максимального порядка регулярны, нашел аналитический признак наличия меры у заданного представления группы Ли. Исследуя проблему преобразования алгебраического уравнения к уравнению с наименьшим числом независимых параметров, известную как "проблема резольвент", Николай Григорьевич получил основополагающие результаты, за которые ему посмертно была присуждена Сталинская премия 1-ой степени (1948).
В.В.Морозов получил полную классификацию максимальных неполупростых подгрупп полупростых групп Ли. Позднее московский математик Е.Б.Дынкин получил классификацию и полупростых максимальных подгрупп полупростых групп Ли. Таким образом, усилиями В.В.Морозова и Е.Б.Дынкина была полностью решена знаменитая проблема Софуса Ли, поставленная им еще в XIX столетии. И.Д.Адо доказал знаменитую теорему о том, что каждая конечномерная алгебра Ли характеристики нуль имеет точное конечномерное линейное представление.
Изучая известную проблему продолжаемости полиномов, Н.Н.Мейман разработал алгоритм, который решает проблему продолжаемости полиномов для важнейшего случая, когда полиномы рассматриваются над множеством действительных чисел.
А.В.Дороднов (1909-1988) под руководством Н.Г.Чеботарева получил полное решение древней проблемы квадрируемости круговых луночек при помощи циркуля и линейки.
В настоящее время алгебраические исследования в Казани проводятся в основном на кафедре алгебры Казанского университета и в отделе алгебры и математической логики НИИММ им. Н.Г.Чеботарева КГУ. В этих коллективах проводятся исследования по теории колец, модулей и категорий (И.И.Сахаев, С.Н.Тронин и другие), по классификации алгебр Ли и неприводимых модулей над алгебрами картановского типа, а также неассоциативным алгебрам (С.М.Скрябин, Ю.Б.Ермолаев, А.Х.Долотказин, Н.А.Корешков и другие).
С середины 70-х годов прошлого столетия проводятся исследования и в сравнительно молодых областях алгебры, развивающихся на стыке алгебры и математической логики.
Первые исследования по математической логике в Казанском университете проводились профессором Платоном Сергеевичем Порецким (1846-1907), астрономом по профессии. В 1884 году П.С.Порецкий издал свой большой труд "О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики", сыгравший на рубеже ХIХ и XX веков заметную роль в развитии алгебры логики. На основе этой работы П.С.Порецкий прочитал в Казанском университете первый в России курс математической логики.
Значительные исследования по математической логике проводились также профессором Николаем Александровичем Васильевым (1880-1940). В своих пионерских работах по "воображаемой логике" (так он назвал разрабатываемую им логику) он высказал идеи, которые современниками расцениваются как предвосхищение основных положений многозначных логик, а также интуиционисткой и конструктивной логики.
Н.К.Замов проводил исследования по теории доказательств, прикладной математической логике и теории синтеза программ. Им разработана стратегия упорядочения термов в методе резолюций, являющаяся разрешающей процедурой для широкого класса формул исчисления предикатов. Он также предложил варианты метода резолюций для модальных логик и вариант метода резолюций без сколемизации исходных формул.
М.М.Арсланов и его ученики изучали алгебраические структуры алгоритмической природы, возникающие при рассмотрении и классификации алгоритмически нераспознаваемых объектов. Широкое распространение получили разработанные М.М.Арслановым общие методы, позволяющие описать полные в соответствующем уровне арифметической иерархии классы арифметических множеств, известные в литературе как критерии полноты Арсланова.
