Р. М. Насыров родился 1 марта 1923 года в Новониколаевске (сейчас – Новосибирск). Его родители были из купеческого сословия. Мать Оркыя, в девичестве Вахитова, приходилась троюродной сестрой известному революционеру, Муллануру Вахитову, их деды были родными братьями.
В послереволюционные годы семья Насыровых часто переезжала и наконец обосновалась в Казани. В школьные годы Рафаил проявлял незаурядные способности и в 1940 году после окончания школы поступил в один из лучших московских вузов, МВТУ им. Н. Э. Баумана. Однако в связи с тем, что время было предвоенное, правительство СССР отменило стипендии студентам, и Рафаил Мухаметович вернулся в Казань, где поступил на 1 курс Казанского авиационного института. Через год началась Великая Отечественная война, и ему пришлось бросить учебу. С этого времени он поступил на работу на Казанское авиационное предприятие. Режим на предприятиях в военное время был очень строгий, за опоздание на работу могли привлечь к уголовной ответственности. Семья Насыровых жила в Старо-Татарской слободе, на ул. Тукая, а на работу приходилось идти пешком. Долгий путь занимал около 2 часов в одну сторону, а продолжительность трудового дня составляла 10-12 часов, и так изо дня в день, без выходных. Конечно, это сильно изматывало физически.
В 1942 году Р. М. Насыров написал заявление и пошел добровольцем на фронт. С мая 1942 года он обучался на зенитчика в училище под городом Горький (сейчас – Нижний Новгород), а с февраля 1943 года после окончания курсов был направлен в действующую армию. Воевал в составе Северо-Западного и 2-го Прибалтийского фронтов в качестве заместителя командира орудия 242-го отдельного зенитно-артиллерийского дивизиона. Фронтовые условия были очень тяжелые. Лошадей было мало, вспомогательной техники не было совсем, и приходилось на себе таскать тяжелые ящики со снарядами по грязи сотни метров. Воевал он под Ленинградом, зачастую в болотах, что сказалось в дальнейшем на его здоровье. После окончания Великой Отечественной войны демобилизован не был. Их часть отправили в Манчжурию, поскольку Советский Союз готовился к серьезной войне с Японией. Однако принять участие в боевых действиях не пришлось. После ядерной бомбардировки американцами двух японских городов императорская Япония подписала капитуляцию. Через некоторое время, к концу года Р. М. Насырова демобилизовали, и он вернулся в Казань.
За боевые заслуги был награжден медалями “За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.”, “За победу над Японией”.
Зимой Рафаил Мухаметович восстановился в число студентов, но не в Казанский авиационный институт, а в Казанский государственный университет на физмат. Он появился впервые в КГУ на зимней сессии, сразу успешно сдал ее и начал учиться на отделении механики. Их поток состоял из математиков, механиков, физиков и астрономов. Год набора был 1945, причем ребята, в основном, пришли с фронта, а девушки поступили в университет после окончания школы. Фронтовики учились с небывалой энергией. И хотя после первой сессии из 150 человек около половины было отчислено (экзаменовали их знаменитые профессора В.В.Морозов и В.Я.Яблоков), оставшаяся половина в дальнейшем успешно закончила университет, многие из выпускников стали известными учеными, инженерами, организаторами науки и образования, работали во многих городах Советского Союза. Р. М. Насыров выделялся среди студентов своими знаниями, и некоторые из профессоров даже иногда доверяли ему заменять их при чтении лекций.
С 1950 по 1953 год Рафаил Мухаметович учился в аспирантуре при кафедре механики КГУ под руководством профессора Г. Г. Тумашева. В июне 1953 года защитил кандидатскую диссертацию на тему «Решение некоторых обратных краевых задач гидроаэродинамики для многосвязных областей», и ему была присуждена ученая степень кандидата физико-математических наук. В 1957 году он был утвержден в ученом звании старшего научного сотрудника. После окончания аспирантуры работал старшим научным сотрудником НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева, доцентом кафедры механики КГУ.
В 1960-е годы Р. М. Насыров перешел на работу в Казанский государственный педагогический институт на должность проректора по научной работе. Обладая прекрасными человеческими качествами, организационным талантом, коммуникабельностью, он быстро заслужил любовь и уважение коллег и студентов. На посту проректора прилагал много усилий для формирования высококвалифицированного научно-педагогического состава института. Так, он направлял многих преподавателей КГПИ в аспирантуру Казанского университета, прикрепляя их к известным профессорам. Во время работы в КГПИ он не оставлял научные исследования, занимаясь теорией устойчивости решений систем дифференциальных уравнений.
В 1970-годы Р. М. Насыров работал в Казанском физико-техническом институте старшим научным сотрудником. Научные интересы его изменились, и он сосредоточился на исследовании задач подземной гидромеханики, связанных с течениями в неоднородном нефтяном пласте. Данная тематика имела большое значение в связи с добычей нефти на месторождениях Татарстана.
С 1977 по 1990 годы Рафаил Мухаметович Насыров работал доцентом кафедры теоретической механики Казанского авиационного института. Его лекции отличали продуманность, ясность изложения. С присущим ему артистизмом и чувством юмора он великолепно читал студентам лекции по теоретической механике.
У Рафаила Мухаметовича было много увлечений. Он очень любил Волгу и весь отпуск проводил на даче, где с удовольствием рыбачил. Он всегда был душой компании, знал много шуток, песен, анекдотов, обладал большим оптимизмом и чувством юмора. Войну вспоминать не любил, а если рассказывал о войне, то в основном забавные моменты, любил петь фронтовые песни.
Скончался Рафаил Мухаметович скоропостижно в Казани 15 марта 1990 г.