Борис Михайлович Гагаев родился 20 июля 1897 года в Казани в семье служащего. После окончания гимназии в 1916 году поступил на математическое отделение физико-математического факультета Казанского университета. После окончания университета в 1923 году он был оставлен научным сотрудником при кафедре математики. После учреждения в Казанском университете аспирантуры Б. М. Гагаев стал аспирантом профессора Н. Н. Парфентьева. Под его руководством Борис Михайлович начал заниматься теорией функций действительного переменного, расходящимися рядами, дифференциальными и интегральными уравнениями.
Окончив аспирантуру в 1929 году, Б. М. Гагаев стал доцентом кафедры математики, а с 1934 года заведовал созданной им кафедрой математического анализа. В 1936 году он был утверждён в учёной степени доктора физико-математических наук без защиты диссертации. В 1934–1941 и 1944–1947 годах заведовал также сектором анализа Научно-исследовательского института математики и механики имени Н. Г. Чеботарева при КГУ. В 1945–1947 годах Борис Михайлович – декан физико-математического факультета Казанского университета. Одновременно с работой в Казанском университете Б. М. Гагаев с 1927 года преподавал в Казанском педагогическом институте, а впоследствии заведовал там кафедрой высшей алгебры и элементарной геометрии. Также он входил в редакционный комитет "Известий Казанского физико-математического общества", был членом редколлегии журнала "Известия вузов. Математика". В годы Великой Отечественной войны он работал с 1943 по 1945 гг. старшим инженером аэродинамической лаборатории Казанского авиационного института.
Основные труды Бориса Михайловича – в области математического анализа, теории ортогональных систем функций и теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, полигармонических функций. Наиболее яркий его научный результат состоит в решении проблемы Н.Н.Лузина. Б. М. Гагаев доказал, что тригонометрическая система функций – единственная система ортогональных функций, дифференцирование и интегрирование которой приводят (с точностью до постоянных множителей) к этой же системе функций.
Много внимания Б. М. Гагаев уделял воспитанию математической молодежи. Среди его учеников немало крупных математиков: академик АН Белорусской ССР Ф. Д. Гахов, член-корреспондент АН Киргизской ССР Я. Б. Быков, профессора Г. С. Салехов, М. А. Пудовкин, Ю. Г. Борисович, И. А. Киприянов, В. Н. Монахов, Г. А. Фрейман. Всего Борис Михайлович воспитал более 60 кандидатов физико-математических наук.
За свою многогранную деятельность он был награждён орденом Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, рядом медалей. Удостоен почетных званий «Заслуженный деятель науки Татарской АССР» (1954), «Заслуженный деятель науки РСФСР» (1966).