О научном направлении "Алгебры Ли"

Теория Галуа, которая с каждым уравнением произвольной степени от одного неизвестного связывала некоторую конечную группу, и по строению, которой можно было узнать разрешимо данное уравнение в радикалах или нет, к концу 19-го века была уже достаточно распространена. Норвежский математик Софус Ли решил построить аналогичную теорию для дифференциальных уравнений. Ему удалось такую теорию, построить, т.е. сопоставить некоторым дифференциальным уравнениям группу, по которой можно было определить разрешимость исходного уравнения в радикалах. Хотя эта теория далеко не для каждого дифференциального уравнения давала ответ о разрешимости. Но при этом возникали группы, которые оказались очень интересными. Эти группы в настоящее время называются группами Ли. Группы Ли являются частным случаем непрерывных групп (последние по определению обладают свойствами двух структур: структурой группы и структурой топологического пространства, причем эти структуры связаны между собой условием непрерывности групповых операций). В группах Ли условие непрерывности заменялась аналитичностью.

Каждая группа Ли определяет некоторую алгебру Ли (первоначальное название инфинитезимальная группа), которая определяет соответствующую группу локально (т.е. две группы Ли имеющие совпадающие алгебры Ли изоморфны локально, иначе говоря, имеют одинаковые окрестности единицы). Так возникли алгебры Ли. Первоначально теория алгебр Ли изучались в составе (совместно с) теории групп Ли. Однако к середине прошлого (20-го) века была оформлена в качестве самостоятельной области.

Основные результаты в теории алгебр Ли были получены такими известными математиками (кроме С. Ли) как: В. Киллинг, Э. Картан, Г. Вейль, Ван- дер-Варден, А. Борель, К. Шевалле.

В Казани теорией алгебр Ли начали заниматься 30-е годы прошлого века. Прежде всего здесь надо отметить работы известного алгебраиста Н.Г. Чеботарева и его учеников И.Д. Адо, В.В. Морозова. И.Д. Адо доказал существование точного конечномерного представления для любой конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики, а В.В. Морозов доказал важную теорему регулярности, которая гласит, что всякая неполупростая максимальная подалгебра простой алгебры Ли регулярна (т.е. содержит так называемую подалгебру Картана). Кроме того, им были доказаны несколько менее существенных результатов, например, теорема о нильпотентном элементе и теорема, носящая название, Бореля-Морозова.

Заметим, что алгебра Ли определяется как линейное пространство, на котором задано векторное произведение (примером алгебры Ли является обычное трехмерное пространство над полем вещественных чисел с векторным произведением). Таким образом, алгебра Ли зависит от поля (в отличии от группы), над которым она определена.

К середине же прошлого века многие принципиальные вопросы теории алгебр Ли над полями нулевой характеристики были решены и объектами исследования стали алгебры Ли над полями положительной характеристики. Так называемые, модулярные алгебры Ли. В конце 70-х годов А.И. Кострикин и И.Р. Шафаревич описали все имеющиеся примеры таких алгебр, используя единую конструкцию алгебр Картановского типа, и выдвинули гипотезу о классификации модулярных алгебр Ли.

В решении этой задачи приняли участие сотрудники нашей кафедры. А.Х. Долотказин получил описание простых модулярных алгебр Ли ранга один. Ю.Б. Ермолаев, используя технику картановских продолжений с градуировкой достаточно большой длины классифицировал моногенные алгебры Ли (дополнение). Н.А. Корешков описал неприводимые представления ограниченных простых алгебр Ли картановского типа. С.М. Скрябин классифицировал дифференциальные формы, определяющие алгебры картановского типа.

В настоящее время классификация простых модулярных алгебр Ли над полями характеристики p больше или равной 7 завершена и исследования ведется в некоторых классах, либо обобщающих класс алгебр Ли, либо связанных с ним некоторыми конструкциями.