Аспирант кафедры вычислительной математики Самсонов Антон Андреевич представил доклад на Восемнадцатой Всероссийской молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения – 2019»

В докладе изложены результаты исследований задачи о продольных собственных колебаниях стержня с присоединенным к торцу грузом. Собственные колебания данной механической системы моделируются дифференциальной задачей на собственные значения второго порядка с однородным граничным условием Дирихле в левой граничной точке и однородным граничным условием третьего рода в правой граничной точке. Последнее условие содержит величину массы присоединенного груза. Подобные уравнения описывают также поперечные или продольные собственные колебания струны с присоединенным грузом. Эти задачи хорошо известны и содержатся во многих учебниках и задачниках по уравнениям математической физики, а также во многих учебниках и справочниках по механике.

В случае однородного стержня постоянного сечения задача сводится к дифференциальной задаче с постоянными коэффициентами. В этом случае собственную частоту можно определить, вычислив корни известного частотного уравнения, и получить хорошо известные предельные свойства собственных частот в зависимости от величины массы присоединенного груза. В докладе отмечается, что эти результаты не являются полными даже в случае постоянных коэффициентов.

Целью проведенных исследований являлось получение полного результата о предельных свойствах механической системы и его обобщения на случай задачи с переменными коэффициентами, когда неизвестно частотное уравнение. Представленные результаты допускают обобщения на более сложные и важные задачи о собственных колебаниях механических конструкций с присоединенными грузами.

Данный вопрос до сих пор оставался неизученным в рамках классического подхода, применяемого в традиционных курсах уравнений математической физики и механики. Представленные в докладе исследования проводились с применением результатов современного функционального анализа и опирались на вариационную постановку задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве, минимаксные принципы для собственных значений и технику предельного перехода в вариационном уравнении для ограниченных слабо сходящихся подпоследовательностей.

Доклад опубликован в Материалах конференции:

Самсонов А.А., Соловьёв С.И., Коростелева Д.М. Исследование предельных свойств решений задачи о собственных колебаниях стержня с грузом // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 58. Лобачевские чтения – 2019: Материалы Восемнадцатой молодёжной научной школы-конференции. Казань, 25–30 ноября 2019 г. – Казань: Издательство Академии наук Республики Татарстан, 2019. – Т. 58. – С. 173–176.