А.И. Абдрахманова, Л.У. Султанов
Казанский Приволжский федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Работа посвящена построению вычислительного алгоритма исследования конечных деформаций трехмерных тел с учетом контактного взаимодействия. Алгоритм основан на так называемом подходе «мастер – слуга» (“master–slave”), рассматривается проекция slave-точки на master-поверхность, которая задана параметрически. Построены все необходимые кинематические соотношения. Для поиска зоны контакта применен алгоритм проекции ближайшей точки. Рассмотрен случай контактного взаимодействия без учета трения между контактируемыми поверхностями. Для выполнения условий контакта применяется метод штрафных функций. На основе уравнения принципа виртуальных мощностей в актуальной конфигурации дана вариационная постановка решения задачи с учетом контактного взаимодействия, построен функционал контактного взаимодействия от неизвестной скорости проникновения одного тела в другое. Определяющие соотношения записаны с помощью упругого потенциала деформации. Для решения полученной нелинейной задачи применен метод пошагового нагружения. Разрешающее уравнение построено на основе линеаризации уравнения принципа виртуальных мощностей в актуальной конфигурации, получены линеаризированные соотношения, разработан алгоритм решения нелинейной задачи. Приведена конечноэлементная реализация предложенного алгоритма. Пространственная дискретизация построена на основе восьмиузлового конечного элемента и пятиузлового контактного элемента, реализующего решения вариационной контактной задачи. Приведены результаты решения модельных задач.
Ключевые слова: конечная деформация, контактное взаимодействие, метод штрафа, алгоритм проекции ближайшей точки
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта № 18-41-160021.
Литература
1. Ворович И.И., Александров В.М. Механика контактных взаимодействий. – М.: Физматлит, 2001. – 671 с.
2. Johnson K. L. Contact mechanics. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. – 452 p.
3. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, 1987. – 246 с.
4. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Contact statement of mechanical problems of reinforced on a contour sandwich plates with transversally-soft core // Russ. Math. – 2017. – V. 61, No 1. – P. 69–75. – doi: 10.3103/S1066369X1701008X.
5. Badriev I.B., Paimushin V.N. Refined models of contact interaction of a thin plate with positioned on both sides deformable foundations // Lobachevskii J. Math. – 2017. – V. 38, No 5. – P. 779–793. – doi: 10.1134/S1995080217050055.
6. Berezhnoi D.V., Shamim R. Numerical investigation of clinch connection manufacturing process // Procedia Eng. – 2017. – V. 206. – P. 1056–1062. – doi: 10.1016/j.proeng.2017.10.594.
7. Berezhnoi D.V., Shamim R., Balafendieva I.S. Numerical modeling of mechanical behavior of clinch connections at breaking out and shearing // MATEC Web Conf. – 2017. – V. 129. – Art. 03023, P. 1–4. – doi: 10.1051/matecconf/201712903023.
8. Bathe K.-J. Finite element procedures in engineering analysis. – Prentice-Hall, 1996. – 735 p.
9. Султанов Л.У. Исследование конечных упругопластических деформаций: алгоритм решения, численные примеры // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 4. – С. 509–517.
10. Bonet J., Wood R.D. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997. – 279 p.
11. Wriggers P. Nonlinear Finite Element Methods. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. – XII, 560 p. – doi: 10.1007/978-3-540-71001-1.
12. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. – М.: Мир, 1976. – 465 с.
13. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. – McGraw-Hill, 1994. – 756 p.
14. Davydov R.L., Sultanov L.U. Numerical algorithm for investigating large elasto-plastic deformations // J. Eng. Phys. Thermophys. – 2015. – V. 88, No 5. – P. 1280–1288. – doi: 10.1007/s10891-015-1310-7.
15. Abdrakhmanova A.I., Sultanov L.U. Numerical modelling of deformation of hyperelastic incompressible solids // Mater. Phys. Mech. – 2016. – V. 26, No 1. – P. 30–32.
16. Давыдов Р.Л., Султанов Л.У. Численный алгоритм решения задачи о больших упругопластических деформациях МКЭ // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2013. – № 1. – С. 81–93. – doi: 10.15593/perm.mech/2013.1.81-93.
17. Konyukhov A., Izi R. Introduction to computational contact mechanics: a geometrical approach. – John Wiley & Sons Ltd, 2015. – 304 p.
18. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. – John Wiley & Sons Ltd, 2002. – 464 p.
19. Laursen T.A. Computational Contact and Impact Mechanics. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2002 – XV, 454 p. – doi: 10.1007/978-3-662-04864-1.
20. Puso M.A., Laursen T.A., Solberg J. A segment-to-segment mortar contact method for quadratic elements and large deformations // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. – 2008. – V. 197, No 6–8. – P. 555–566. – doi: 10.1016/j.cma.2007.08.009.
21. Yang B., Laursen T.A., Meng X. Two dimensional mortar contact methods for large deformation frictional sliding // Int. J. Numer. Methods Eng. – 2005. – V. 62, No 9. – P. 1183–1225. – doi: 10.1002/nme.1222.
Поступила в редакцию
06.02.18
Абдрахманова Алиса Ильгамовна, аспирант кафедры теоретической механики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: A061093@mail.ru
Для цитирования: Абдрахманова А.И., Султанов Л.У. Численное исследование нелинейных деформаций с учетом контактного взаимодействия // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2018. – Т. 160, кн. 3. – С. 423–434.
For citation: Abdrakhmanova A.I., Sultanov L.U. Numerical investigation of nonlinear deformations with contact interaction. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 160, no. 3, pp. 423–434. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.