Казанский (Приволжский) федеральный университет

Однородные разностные схемы для сопряженных задач гидродинамики и упругости

И.П. Цыгвинцев¹, А.Ю. Круковский¹, Ю.А. Повещенко^1,2, В.А. Гасилов^1,2, Д.С. Бойков¹, С.Б. Попов¹
¹Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва, 125047, Россия
²Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, г. Москва, 115409, Россия

Полный текст PDF
DOI: 10.26907/2541-7746.2019.3.377-392

Для цитирования: Цыгвинцев И.П., Круковский А.Ю., Повещенко Ю.А., Гасилов В.А., Бойков Д.С., Попов С.Б. Однородные разностные схемы для сопряженных задач гидродинамики и упругости // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2019. – Т. 161, кн. 3. – С. 377–392. – doi: 10.26907/2541-7746.2019.3.377-392.

For citation: Tsygvintsev I.P., Krukovskiy A.Yu., Poveshchenko Yu.A., Gasilov V.A., Boykov D.S., Popov S.B. Homogeneous difference schemes for the coupled problems of hydrodynamics and elasticity. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2019, vol. 161, no. 3, pp. 377–392. doi: 10.26907/2541-7746.2019.3.377-392. (In Russian)

Аннотация

В работе построена конечно-разностная аппроксимация упругих сил на разнесённых лагранжевых сетках, основанная на методе опорных операторов. Для векторов смещений на нерегулярных сетках, на топологическую и геометрическую структуру которых наложены минимальные разумные ограничения, применительно к разностным схемам для задач теории упругости построены аппроксимации операций векторного анализа в плоской и цилиндрической геометрии. С учетом энергетического баланса среды построены семейства интегрально согласованных аппроксимаций операций векторного анализа, достаточные для дискретного моделирования этих процессов с учетом кривизны пространства, вызванной цилиндрической геометрией системы. Рассматриваются схемы, как использующие тензор напряжений в явном виде, так и разделяющие его на шаровую и сдвиговую компоненты (давление и девиатор). Подобное разделение используется для построения однородных уравнений, применимых как для твёрдого тела, так и для испарённой фазы. При построении аппроксимации используется линейная теория упругости. В явном виде приведены результирующие силы в двумерных xy- и rz-геометриях для сетки, состоящей из треугольных и четырёхугольных ячеек. Обобщение методики на нелинейный тензор деформации, на область неприменимости закона Гука или на трёхмерную геометрию может быть проведено по аналогии, но в настоящей работе подробно не рассматривается. На модельной задаче проведено сравнение различных временных аппроксимаций для построенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, рассмотрены полностью неявная аппроксимация, консервативная неявная аппроксимация и явная аппроксимация, аналогичная методу с перешагиванием (“leap-frog”). Из анализа дисбаланса полной энергии и сравнения вычислительной стоимости сделан вывод о преимуществе последней. Эффективность использования различных аппроксимаций проанализирована в вычислительных экспериментах.

Ключевые слова: конечно-разностная схема, тензор деформации, метод опорных операторов, лагранжева сетка «разнесенного» типа

Литература

1. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифференц. уравнения. – 1981. – Т. 17, № 7. – С. 1317–1327.

2. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме // Докл. АН СССР. – 1981. – Т. 258, № 5. – С. 1092–1096.

3. Коршия Т.К., Тишкин В.Ф., Самарский А.А., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Вариационно-операторные разностные схемы для уравнений математической физики. – Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1983. – 143 с.

4. Денисов А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А. О сходимости разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на обобщенных решениях // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1989. – Т. 29, № 3. – С. 371–381.

5. Денисов А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А. О сходимости разностных схем метода опорных операторов для осесимметричного уравнения Пуассона на обобщенных решениях // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.. – 1990. – Т. 30, № 10. – С. 1477–1486.

6. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. – Минск: Критерий, 1996. – 273 с.

7. Колдоба В.А., Повещенко Ю.А., Гасилова И.В., Дорофеева Е.Ю. Разностные схемы метода опорных операторов для уравнений теории упругости // Матем. моделирование. – 2012. – Т. 24, № 12. – С. 86–96.

8. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.: Наука, 1992. – 424 с.

9. Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы. – М.: Физматлит, 2000. – 400 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, 1987. – 248 с.

11. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечно-разностных математических моделей в гидродинамике // Докл. АН СССР. – 1977. – Т. 235, № 6. – С. 1285–1288.

12. Гасилов В.А., Круковский А.Ю., Новиков В.Г., Романов И.В., Цыгвинцев И.П. Численное моделирование токопрохождения в вакуумном диоде с лазерным поджигом // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. – 2013. – № 78. – 20 с.

13. Гасилов В.А., Круковский А.Ю., Повещенко Ю.А., Цыгвинцев И.П. Однородные разностные схемы для решения сопряжённых задач гидродинамики и упругости // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. – 2018. – № 13. – 17 с.

14. Повещенко Ю.А., Гасилов В.А., Ладонкина М.Е., Подрыга В.О., Насекин И.С. Разностные схемы метода опорных операторов для уравнений теории упругости в цилиндрической геометрии // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. – 2018. – № 142. – 22 с.

15. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 532 с.

Поступила в редакцию

12.06.19

Цыгвинцев Илья Павлович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник