И.Б. Бадриев1 , М.В. Макаров1 , В.Н. Паймушин1,2, С.А. Холмогоров2
1Казанский ( Приволжский ) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
2Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева, г. Казань, 420111, Россия
Аннотация
Проведено численное исследование задачи о геометрически нелинейном осесимметричном деформировании трехслойной цилиндрической оболочки с трансверсально-мягким заполнителем,подкрепленной в торцевых сечениях упругими стержнями. Для описания процесса деформирования использованы выведенные ранее уравнения уточнен- ной геометрически нелинейной теории, позволяющие как изучить докритическое поведе- ние оболочки, так и выявить все возможные формы потери устойчивости несущих слоев. Указанные уравнения основаны на введении в рассмотрение в качестве неизвестных контактных усилий взаимодействия внешних слоев с заполнителем, а также внешних слоев и заполнителя с подкрепляющими телами во всех точках поверхностей их сопряжения. Разработаны численные методы решения сформулированных задач. Они основаны на предварительном сведении исходных задач к системе интегро-алгебраических уравнений, при решении которых используется метод конечных сумм. Предложена методика исследо- вания докритического и закритического геометрически нелинейного поведения оболочки при ее торцевом сжатии через контурные подкрепляющие стержни, согласно которой неустойчивые положения равновесия определяются методом продолжения решения по параметру при выборе в качестве параметра работы внешних сил. Предложен способ на- хождения критической нагрузки (точки бифуркации), при достижении которой оболочка теряет устойчивость. Он основан на линеаризации исходной геометрически нелинейной задачи в окрестности её нелинейного решения с последующей формулировкой задачи на собственные значения с нелинейным вхождением параметра. Приведены результаты численных экспериментов. Проведен анализ результатов экспериментов.
Ключевые слова: трехслойная цилиндрическая оболочка, трансверсально-мягкий заполнитель, контурный подкрепляющий стержень, геометрическая нелинейность, контактные напряжения, осевое сжатие, осесимметричная деформация, метод конечных сумм, докритическое и закритическое поведение, точка бифуркации, линеаризованная задача, формы потери устойчивости
Литература
1. Александров А.Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М., Прусаков А.П. Расчет трехслойных панелей. – М.: Оборонгиз, 1960. – 270 с.
2. Reddy J.N. Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis. – Boca Raton: CRC Press, 2004. – 831 p.
3. Badriev I.B., Paimushin V.N. Refined Models of Contact Interaction of a Thin Plate with Positioned on Both Sides Deformable Foundations // Lobachevskii J. Math. – 2017. – V. 38, No 5. – P. 779–793. – doi: 10.1134/S1995080217050055.
4. Birman V., Vo N. Wrinkling in sandwich structures with a functionally graded core // J. Appl. Mech.. – 2017. – V. 84, No 2. – Art. 021002, P. 1–8. – doi: 10.1115/1.4034990.
5. Zenkert D. An Introduction to Sandwich Construction. – London: Chameleon Press Ltd., 1995. – 277 p.
6. Crupi V., Epasto G., Guglielmino E. Comparison of aluminium sandwiches for lightweight ship structures: Honeycomb vs. foam // Marine Structures. – 2013. – V. 30. – P. 74–96. – doi: 10.1016/j.marstruc.2012.11.002.
7. Vasiliev V.V., Morozov E.V. Advanced Mechanics of Composite Materials and Structural Elements. – Elsevier, 2013. – 832 p.
8. Sutherland L., Soares G. Impact behavior of typical marine composite laminates // Composites: Part B. – 2006. – V. 37, No 2–3. – P. 89–100. – doi: 10.1016/j.compositesb.2005.09.001.
9. Johnson H.E., Louca L.A., Mouring S., Fallah A.S. Modelling impact damage in marine composite panels // Int. J. Impact Eng. – 2009. – V. 36, No 1. – P. 25–39. – doi: 10.1016/j.ijimpeng.2008.01.013.
10. Васильев В.В., Добряков А.А., Дудченко А. А. Основы проектирования и изготовления конструкций летательных аппаратов из композиционных материалов. – М.: МАИ, 1985. – 218 с.
11. Takeda N., Minakuchi S., Okabe Y. Smart composite sandwich structures for future aerospace application damage detection and suppression: A review // J. Solid Mechanics and Materials Engineering. – 2007. – V. 1. No 1. – P. 3–17. – doi: 10.1299/jmmp.1.3.
12. Minjing L., Zhanjun W. Application of composite honeycomb sandwich structure in aircraft // Sci. Technol. Rev. – 2016. – V. 34, No 8. – P. 21–25. (in Chinese)
13. Seibert H.F. Composite materials for aerospace applications // Bull. Materials Sci. – 1999. – V. 22, No 3. – P. 657–664. – doi: 10.1007/BF02749982.
14. Crump D.A., Dulieu-Barton J.M., Savage J. The Manufacturing Procedure for Aerospace Secondary Sandwich Structure Panels // J. Sandwich Structures Materials. – 2010. – V. 12, No 4. – P. 421–447. – doi: 10.1177/1099636209104531.
15. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. – М.: Машиностроение, 1973. – 168 с.
16. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. – М.: Машиностроение, 1980. – 375 с.
17. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикл. механика. – 1972. – Т. 8, № 6. – С. 5–17.
18. Паймушин В.Н. Нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с дефектами в виде участков непроклея // Прикл. механика. – 1987. – № 11. – С. 32–38.
19. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточненная теория устойчивости трехслойных конструкций (нелинейные уравнения докритического равновесия оболочек с трансверсально-мягким заполнителем) // Изв. вузов. Матем. – 1994. – № 11. – С. 29–42.
20. Paimushin V.N., Bobrov S.N. Refined geometric nonlinear theory of sandwich shells with a transversely soft core of medium thickness for investigation of mixed buckling forms // Mechanics of Composite Materials. – 2000. – V. 36, No 1. – P. 59–66.
21. Noor A.K., Burton W.S., Bert Ch.W. Computational models for sandwich panels and shells // Appl. Mech. Rev. – 1996. – V. 49, No 3. – P. 155–199. – doi: 10.1115/1.3101923.
22. Паймушин В.Н. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек (этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований) // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2001. – № 2. – С. 148–162.
23. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Numerical Investigation of physically nonlinear problem of sandwich plate bending // Procedia Eng. – 2016. – V. 150. – P. 1050–1055. – doi: 10.1016/j.proeng.2016.07.213.
24. Badriev I.B., Banderov V.V., Makarov M.V. Mathematical Simulation of the problem of the pre-critical sandwich plate bending in geometrically nonlinear one dimensional formulation // IOP Conf. Ser.: Materials Science and Engineering. – 2017. – V. 208. – Art. 012002, P. 1–7. – doi: 10.1088/1757-899X/208/1/012002.
25. Badriev I.B., Garipova G.Z., Makarov M.V., Paymushin V.N. Numerical solution of the issue about geometrically nonlinear behavior of sandwich plate with transversal soft filler // Res. J. Appl. Sci. – 2015. – V. 10, No 8. – P. 428–435. – doi: 10.3923/rjasci.2015.428.435.
26. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Solvability of physically and geometrically nonlinear problem of the theory of sandwich plates with transversally-soft core // Russ. Math. – 2015. – V. 59, No 10. – P. 57–60. – doi: 10.3103/S1066369X15100072.
27. Bадриев И.Б., Гарипова Г.З., Макаров М.В., Паймушин В.Н., Хабибуллин Р.Ф. О решении физически нелинейных задач о равновесии трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2015. – Т. 157, кн. 1. – С. 15–24.
28. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Численное исследование физически нелинейной задачи о продольном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2017. – № 1. – С. 39–51. – doi: 10.15593/perm.mech/2017.1.03.
29. Paimushin V.N. theory of moderately large deflections of sandwich shells having a transversely soft core and reinforced along their contour // Mechanics of Composite Materials. – 2017. – V. 53, No 1. – P. 1–16. – doi: 10.1007/s11029-017-9636-1.
30. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Contact statement of mechanical problems of reinforced on a contour sandwich plates with transversally-soft core // Russ. Math. – 2017. – V. 61, No 1. – P. 69–75. – doi: 10.3103/S1066369X1701008X.
31. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения пространственных задач сопряжения деформируемых тел // Докл. АН СССР. – 1983. – Т. 273, № 5. – С. 1083–1086.
32. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Продольно-поперечный изгиб по цилиндрической форме трехслойной пластины, подкрепленной в торцевых сечениях абсолютно твердыми телами // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 2. – С. 174–190.
33. Даутов Р.З., Паймушин В.Н. О методе интегрирующих матриц решения краевых задач для обыкновенных уравнений четвёртого порядка // Изв. вузов. Матем. – 1996. – № 10. – С. 13–25.
34. Даутов Р.З., Карчевский М.М., Паймушин В.Н. К методу интегрирующих матриц для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем. – 2003. – № 7. – С. 18–26.
35. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Изв. вузов. Авиац. техника. – 1966. – № 3. – С. 50–61.
36. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Longitudinal and transverse bending by a cylindrical shape of the sandwich plate stiffened in the end sections by rigid bodies // IOP Conf. Ser Materials Science and Engineering. – 2016. – V. 158. – Art. 012011, P. 1–9. – doi: 10.1088/1757-899X/158/1/012011.
37. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Геометрически нелинейная задача о продольно-поперечном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2016. – Т. 158, кн. 4. – С. 453–468.
38. Карчевский М.М. Итерационные схемы для уравнений с монотонными операторами // Изв. вузов. Матем. – 1971. – № 5. – С. 32–37.
39. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Mathematical Simulation of Nonlinear Problem of Three-point Composite Sample Bending Test // Procedia Eng. – 2016. – V. 150. – P. 1056–1062. doi: 10.1016/j.proeng.2016.07.214.
40. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. – М: Наука, 1972. – 416 с.
41. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. – М.: Наука, 1988. – 231 с.
42. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. – М.: Эдиториал УРСС, 1999. – 222 с.
Поступила в редакцию
11.04.17
Бадриев Ильдар Бурханович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: ildar.badriev1@mail.ru
Макаров Максим Викторович, ассистент кафедры анализа данных и исследования операций
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: makarovmaksim@mail.ru
Паймушин Виталий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прочности конструкций; главный научный сотрудник
Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева
ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111, Россия
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
E-mail: vpajmushin@mail.ru
Холмогоров Сергей Андреевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник
Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева
ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111, Россия
E-mail: hkazan@yandex.ru
Для цитирования: Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н., Холмогоров С.А. Осесимметричные задачи о геометрически нелинейном деформировании и устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки с контурными подкрепля- ющими стержнями // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 4. – С. 395–428.
For citation: Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N., Kholmogorov S.A.The axisymmetric problems of geometrically nonlinear deformation and stability of a sandwich cylindrical shell with contour reinforcing beams. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 4, pp. 395–428. (In Russian)
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.